无向图最小环问题

CODEVS 2611 观光旅游

题目描述 Description

某旅游区里面有Ｎ个景点。两个景点之间可能直接有道路相连，用a[i][j]表示它的长度，否则它们之间没有直接的道路相连。这里所说的道路是没有规定方向的，也就是说，如果从i到j有直接的道路，那么从j到i也有，并且长度与之相等。

旅游区规定：每个游客的旅游线路只能是一个回路（好霸道的规定）。也就是说，游客可以任取一个景点出发，依次经过若干个景点，最终回到起点。一天，Smart决定到这个景区来旅游，由于他实在已经很累了，于是他决定尽量少走一些路。

他想请你帮他求出最优的路线。怎么样，不是很难吧？

输入描述 Input Description

输入有多组数据。对于每组数据：

第一行有两个正整数N，M，分别表示景点个数和有多少对景点之间直接有边相连（N≤100,M≤10000）；

接下来M行，每行三个正整数，分别表示一条道路的两端的编号，以及这条道路的长度（长度≤1000）。

输出描述 Output Description

对于每组数据，输出一行，如果该回路存在，则输出一个正整数，表示该回路的总长度；否则输出“No solution.”（不要输出引号）

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嗯 一个经典的无向图最小环问题
然鹅今天之前我完全没听过这东西

总之呢就是边做floyd边更新最小值

引用一段 Robot_Asia dalao的讲解 （见原文）

抛开Dijkstra算法，进而我们想到用Floyd算法。我们知道，Floyd算法在进行时会不断更新矩阵dist(k)。设dist[k，i，j]表示从结点i到结点j且满足所有中间结点，它们均属于集合{1，2，⋯ ，k}的一条最短路径的权。其中dist[0，i,j ]即为初始状态i到j的直接距离。对于一个给定的赋权有向图， 求出其中权值和最小的一个环。我们可以将任意一个环化成如下形式：u->k->v ->(x1-> x2-> ⋯ xm1)-> u(u与k、k与v都是直接相连的)，其中v ->(x1-> 2-> ⋯ m)-> u是指v到u不经过k的一种路径。
在u，k，v确定的情况下，要使环权值最小， 则要求 (x1一>x2->⋯一>xm)->u路径权值最小．即要求其为v到u不经过k的最短路径，则这个经过u，k，v的环的最短路径就是：[v到u不包含k的最短距离]+dist[O，u，k]+dist[O，k，v]。我们用Floyd只能求出任意2点间满足中间结点均属于集合{1，2，⋯ ，k}的最短路径，可是我们如何求出v到u不包含k的最短距离呢?
现在我们给k加一个限制条件：k为当前环中的序号最大的节点(简称最大点)。因为k是最大点，所以当前环中没有任何一个点≥k，即所有点都(x1->x2->…xm)->u属于当前环，所以x1，x2，⋯ ，xm

嗯 讲得很透彻 上课没听懂 ε=ε=ε=┏(゜ロ゜;)┛

模板照着老师说的写的
dis[i][j]表示i到j的最短距离
g[i][j]是初始距离

for(int k=1;k<=n;++k)
{
	for(int i=1;i

其实不太好理解的点有几个

• Q：为什么先枚举k
  A：我们是把k当作中转站看能不能更新i和j的距离
  这样枚举k自然方便一些
• Q：为什么先更新ans再更新dis（先更新答案后floyd）
  A：就像上面dalao所说，我们更新ans时需要的是dis[k-1,i,j]而不是dis[k,i,j]，开三维数组自然没有这个问题，不过既然本着能省则省的思想开了二维，就要后更新dis了
• Q：为什么i j
A：我们只求好了1~k-1之间（k点加入之前）的最优路径，k~n会在后面得到更新，且肯定比现在更新得到答案更优

然后，关于floyd有种神奇的理解
把k点当作中转站相当于向图中加入k点，同时用它更新现有图上最短路（好像有点像dp？？）
这也解释了为什么先枚举k，点总要一个个加嘛

最后附代码

#include 
#include 
#include 
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=105;
long long n,m;
long long dis[N][N],g[N][N];
int main(){
	while(scanf("%lld %lld",&n,&m)==2)
	{
		long long u,v,w;
		long long ans=INF;
		for(int i=1;i<=n;++i)
		{
			for(int j=i+1;j<=n;++j)
			{
				if(i==j)
					dis[i][j]=dis[j][i]=g[i][j]=g[j][i]=0;
				else
					dis[i][j]=dis[j][i]=g[i][j]=g[j][i]=INF;
			}
		}
		/*memset(dis,INF,sizeof(dis));
		memset(g,INF,sizeof(g));
		for(int i=1;i<=n;++i)
		{
			dis[i][i]=g[i][i]=0;
		}*/
		//这样初始化是不对的 数组元素值不等于INF
		for(int i=0;i>u>>v>>w;
			dis[u][v]=g[u][v]=dis[v][u]=g[v][u]=min(g[u][v],w);
		}
		for(int k=1;k<=n;++k)
		{
			for(int i=1;i