数据结构：堆

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堆常用来实现优先队列，在这种队列中，待删除的元素为优先级最高（最低）的那个。在任何时候，任意优先元素都是可以插入到队列中去的，是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称

一、堆的定义

最大（最小）堆是一棵每一个节点的键值都不小于（大于）其孩子（如果存在）的键值的树。大顶堆是一棵完全二叉树，同时也是一棵最大树。小顶堆是一棵完全完全二叉树，同时也是一棵最小树。

注意：

• 堆中任一子树亦是堆。
• 以上讨论的堆实际上是二叉堆(Binary Heap)，类似地可定义k叉堆。

下图分别给出几个最大堆和最小堆的例子：

二、支持的基本操作

堆支持以下的基本操作:

• build: 建立一个空堆；
• insert: 向堆中插入一个新元素；
• update：将新元素提升使其符合堆的性质；
• get：获取当前堆顶元素的值；
• delete：删除堆顶元素；
• heapify：使删除堆顶元素的堆再次成为堆。

某些堆实现还支持其他的一些操作，如斐波那契堆支持检查一个堆中是否存在某个元素。

三、堆的应用

1.堆排序

 堆排序(HeapSort)是一树形选择排序。
    　堆排序的特点是：在排序过程中，将R[l..n]看成是一棵完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系【参见二叉树的顺序存储结构】，在当前无序区中选择关键字最大(或最小)的记录。

优点直接选择排序中，为了从R[1..n]中选出关键字最小的记录，必须进行n-1次比较，然后在R[2..n]中选出关键字最小的记录，又需要做n-2次比较。事实上，后面的n-2次比较中，有许多比较可能在前面的n-1次比较中已经做过，但由于前一趟排序时未保留这些比较结果，所以后一趟排序时又重复执行了这些比较操作。

    　堆排序可通过树形结构保存部分比较结果，可减少比较次数。

堆排序利用了大根堆(或小根堆)堆顶记录的关键字最大(或最小)这一特征，使得在当前无序区中选取最大(或最小)关键字的记录变得简单。

（1）、用大根堆排序的基本思想

• 先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆，此堆为初始的无序区
• 再将关键字最大的记录R[1](即堆顶)和无序区的最后一个记录R[n]交换，由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R[n]，且满足R[1..n-1].keys≤R[n].key
• 由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。然后再次将R[1..n-1]中关键字最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n]，且仍满足关系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys，同样要将R[1..n-2]调整为堆。直到无序区只有一个元素为止。

（2）、大根堆排序算法的基本操作：

• 初始化操作：将R[1..n]构造为初始堆；
• 每一趟排序的基本操作：将当前无序区的堆顶记录R[1]和该区间的最后一个记录交换，然后将新的无序区调整为堆(亦称重建堆)。

  注意：

• 只需做n-1趟排序，选出较大的n-1个关键字即可以使得文件递增有序。
• 用小根堆排序与利用大根堆类似，只不过其排序结果是递减有序的。堆排序和直接选择排序相反：在任何时刻，堆排序中无序区总是在有序区之前，且有序区是在原向量的尾部由后往前逐步扩大至整个向量为止。

（3）、算法实现

 
//堆排序
template 
void Sort::HeapSort(T arr[], int len){
	int i; 
	
	//建立子堆 
	for(i = len / 2; i >= 1; i--){
		CreateHeap(arr, i, len);
	}
	
	for(i = len - 1; i >= 1; i--){
		buff = arr[1];
		arr[1] = arr[i + 1];
		arr[i + 1] = buff; 
		
		CreateHeap(arr, 1, i); 
	}
} 


//建立堆 
template 
void Sort::CreateHeap(T arr[], int root, int len){
	int j = 2 * root; 					//root's left child, right (2 * root + 1) 
	T temp = arr[root];
	bool flags = false; 
	
	while(j <= len && !flags){
		if(j < len){
			if(arr[j] < arr[j + 1]){		// Left child is less then right child 
				++j; 				// Move the index to the right child 
			}	
		}
		
		if(temp < arr[j]){
			arr[j / 2] = arr[j];
			j *= 2; 
		}else{
			flags = true; 
		} 
	} 
 	arr[j / 2]  = temp; 
} 

2.选择前k个最大（最小）的数

思想：在一个很大的无序数组里面选择前k个最大（最小）的数据，最直观的做法是把数组里面的数据全部排好序，然后输出前面最大（最小）的k个数据。但是，排序最好需要O(nlogn)的时间，而且我们不需要前k个最大（最小）的元素是有序的。这个时候我们可以建立k个元素的最小堆(得出前k个最大值)或者最大堆(得到前k个最小值)，我们只需要遍历一遍数组，在把元素插入到堆中去只需要logk的时间，这个速度是很乐观的。利用堆得出前k个最大（最小）元素特别适合海量数据的处理。

代码：

typedef multiset >            intSet;
typedef multiset >::iterator  setIterator;

void GetLeastNumbers(const vector& data, intSet& leastNumbers, int k)
{
    leastNumbers.clear();

    if(k < 1 || data.size() < k)
        return;

    vector::const_iterator iter = data.begin();
    for(; iter != data.end(); ++ iter)
    {
        if((leastNumbers.size()) < k)
            leastNumbers.insert(*iter);

        else
        {
            setIterator iterGreatest = leastNumbers.begin();

            if(*iter < *(leastNumbers.begin()))
            {
                leastNumbers.erase(iterGreatest);
                leastNumbers.insert(*iter);
            }
        }
    }
}

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