学习NTT（快速数论变换）小记

前言

以前一直知道FFT的这个思想，一直没有实现。
本想着转C语言抛弃P语言后就码一码。
但最近遇到了奇怪的题目，要用到NTT。
于是就学了一发，借着各种板子好歹是学会了。

简介

NTT是什么？
其实就是FFT，一样是求多项式卷积之类的东东。只不过没有利用到复数里面单位根的性质。
有什么用？
可以实现取模操作！

具体操作

原根：

百度百科的欧拉函数比较费解。
其实解释起来就是对于一个数P
g是它的原根当且仅当g满足：
$对于任意的x(0<=x<P-1)g^{x}modP互不相同$
根据这个玩意儿，很容易判断出一个数g是不是P的原根。
显然：当P是一个质数时，一定有原根。
对于原根，都比较难找（只能暴力），但对于一个质数的原根，都很小。
比如998244353,1004535809,469762049这三个数的原根为3.

原根的用处：

我们看到之前FFT里面的单位根：${\omega }_n^i$
我们直接把上面这个单位根替换成原根即可。
怎么替换？
${\omega }_n^i=g^{i\ast \lfloor \frac{(mo-1)}{n}\rfloor }（mo是模数）$
直接套上FFT板子即可。

为什么：

我们知道，FFT是利用单位根的几个重要性质来加速的。
那么换成原根之后，只需要满足单位根那几个性质就可以了。
怎么满足呢？

我们知道，单位根满足：
1、全部都不相同
2、${\omega }_n^x{\omega }_n^y={\omega }_n^{x+y}={\omega }_n^{(x+y)modn}$
然后利用这两个性质推出其他性质。

那么原根是否也可以呢？
1、$g^{i\ast \lfloor \frac{(mo-1)}{n}\rfloor }$这个玩意儿右边是一样的，左边的i是不定的。
而且这个g由于是原根，模mo的意义下是都不同的。
得证
2、这个性质其实对模数要求很高。
比如这个模数：1004535809(479 * 2 ^21 + 1)
我们发现，这个模数就很棒，对于一个比较大的n（2的某次方）可以整除。
那么可以容易消去下取整。
接下来就好搞了：
$$g^{x\ast \frac{(mo-1)}{n}}\ast g^{y\ast \frac{(mo-1)}{n}}$$
容易变成：
$$(g^x{)}^{\frac{(mo-1)}{n}}\ast (g^y{)}^{\frac{(mo-1)}{n}}$$
$${(g^{(x+y)})}^{\frac{(mo-1)}{n}}$$
已知：
$${(g^n)}^{\frac{(mo-1)}{n}}=g^{mo-1}$$
根据费马小定理：$$g^{mo-1}=1$$
所以说：$${(g^{(x+y)})}^{\frac{(mo-1)}{n}}={(g^{(x+y)modn})}^{\frac{(mo-1)}{n}}$$
那么就意味着可以利用原根来代替单位根搞了。

其他什么性质就不推了。

应用（板子）

我们发现，NTT与FFT的流程、时间都是一样的。
这玩意似乎很棒，比起FFT有以下优点：
1、可以取模
2、避免FFT的精度问题

但是，有优点也有缺点：
1、模数通常很头疼（为什么可以往下翻）
2、常数大（可能是我不会卡常）

一个套路——通常看到一个卷积的形式并且模数为：998244353,1004535809,469762049时，可以考虑NTT了。

板子放在例题里了，自己去看
洛谷P3803 【模板】多项式乘法（FFT）（话说这题我NTT还TLE了）
JZOJ3303. 【集训队互测2013】城市规划（时限良心）

拓展

有时候NTT模数不得，怎么办？
据说可以利用上面的三个模数搞，搞完后用中国剩余定理。
（据说还有很恶心的题，然鹅我没有做多少）