2019.03.07【SDOI2018】【BZOJ5332】【洛谷P4619】旧试题（莫比乌斯反演）（三元环计数）

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解析：

很明显这是在致敬【SDOI2014】约数个数和。所以才叫"旧试题"

还是先化简式子。首先有二元组的结论，证明在上面那篇博客里面。

$$d(ij)=\sum _{k\mid i}\sum _{l\mid j}[\gcd (k,l)=1]$$

其实约数个数的结论可以推广到任意多元组，现在尝试推广到三元组。

$$\begin{array}{rlrl}d(ijh)& =& & \sum _{k\mid i}\sum _{lt\mid jh}[\gcd (k,lt)=1]\\ & =& & \sum _{k\mid i}\sum _{l\mid j}\sum _{t\mid h}[\gcd (k,l)=1][\gcd (l,t)=1][\gcd (k,t)=1]\end{array}$$

为了保证因子枚举的不重复性这里加上了$[\gcd (l,t)=1]$，证明动动脑子都能想出来，就不写了 。

所以开始推式子：

$$\begin{array}{rlrl}Ans& =& & \sum _{i=1}^A\sum _{j=1}^B\sum _{h=1}^{C}d(ijh)\\ & =& & \sum _{i=1}^A\sum _{j=1}^B\sum _{h=1}^C\sum _{k\mid i}\sum _{l\mid j}\sum _{t\mid h}[\gcd (k,l)=1][\gcd (l,t)=1][\gcd (k,t)=1]\\ & =& & \sum _{k=1}^A\sum _{l=1}^B\sum _{t=1}^C\lfloor \frac{A}{k}\rfloor \lfloor \frac{B}{l}\rfloor \lfloor \frac{C}{t}\rfloor [\gcd (k,l)=1][\gcd (l,t)=1][\gcd (k,t)=1]\\ & =& & \sum _{k=1}^A\sum _{l=1}^B\sum _{t=1}^C\lfloor \frac{A}{k}\rfloor \lfloor \frac{B}{l}\rfloor \lfloor \frac{C}{t}\rfloor \sum _{a\mid k,a\mid l}\mu (a)\sum _{b\mid l,b\mid t}\mu (b)\sum _{c\mid k,c\mid t}\mu (c)\\ & =& & \sum _{a=1}^{\min (A,B)}\sum _{b=1}^{\min (B,C)}\sum _{c=1}^{\min (A,C)}\mu (a)\mu (b)\mu (c)\sum _{\text{lcm}(a,c)\mid k}\lfloor \frac{A}{k}\rfloor \sum _{\text{lcm}(a,b)\mid l}\lfloor \frac{B}{l}\rfloor \sum _{\text{lcm}(b,c)\mid t}\lfloor \frac{C}{t}\rfloor \end{array}$$

令$f(n,k)={\sum }_{k\mid t}\lfloor \frac{n}{t}\rfloor$，显然，当$n$确定的时候，可以$O(n\log n)$时间内处理出$fn$数组。

现在最蛋疼的是考虑前面的三个$\mu$。

这道题形式上就很反整除分块，我们换一个方向，考虑那些$\mu$值不为$0$，且在$f$中有值的$a,b,c$。

如果$\mu (a)!=0,\mu (b)!=0$且$f(\max (A,B,C),\text{lcm}(a,b))!=0$，那么我们在$a,b$之间连一条边权为$\text{lcm}(a,b)$边（包括自环，不过自环可以单独处理）。（其实这个边权就是为了后面来在$f$数组里面找东西用的）

其实极限数据边数也只有700多。

现在发现了什么？

我们需要统计的所有$a,b,c$三元组在原图中形成了一个三元环！

现在我们需要做的就是三元环计数了，直接做复杂度可能达到$O(nm)$，通过一些优化可以优化到$O(m\sqrt{m})$，具体的看这里：大佬博客

现在考虑一个问题，图怎么建？$O(n^2)$的暴力显然直接$T$飞了。

我们考虑枚举$\gcd (a,b),\frac{a}{\gcd (a,b)},\frac{b}{\gcd (a,b)}$，显然我们只需要保证$a,b$的$\mu$不为$0$，且$\frac{a}{\gcd (a,b)},\frac{b}{\gcd (a,b)}$互质就行了。

跑得还挺快的。

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代码：

#include
using namespace std;
#define ll long long
#define re register
#define cs const

cs int P=1e5+5;
int prime[P],pcnt;
bool mark[P];
int mu[P];

inline void linear_sieves(int len=P-5){
     
	mu[1]=1;
	for(int re i=2;i<=len;++i){
     
		if(!mark[i])prime[++pcnt]=i,mu[i]=-1;
		for(int re j=1;i*prime[j]<=len;++j){
     
			mark[i*prime[j]]=true;
			if(i%prime[j])mu[i*prime[j]]=-mu[i];
			else break;
		}
	}
}

inline int gcd(int a,int b){
     
	static int tmp;
	while(b){
     
		tmp=a%b;
		a=b;
		b=tmp;
	}
	return a;
}

cs int mod=1e9+7;
int n,A,B,C;
int fa[P],fb[P],fc[P];
int sa[P],sb[P],sc[P];
ll ans;

struct E{
     int to,val;};
vector<E> edge[P];

int deg[P];

struct data{
     
	int x,y,z;
}a[P*10];
int tot;

inline bool check(cs data& a){
     
	return deg[a.x]==deg[a.y]?a.x<a.y:deg[a.x]<deg[a.y];
}

inline void solve(){
     
	scanf("%d%d%d",&A,&B,&C);
	n=max(A,max(B,C));tot=ans=0;
	
	for(int re i=1;i<=n;++i)
	for(int re j=i;j<=n;j+=i)fa[i]+=A/j,fb[i]+=B/j,fc[i]+=C/j;
	
	for(int re i=1;i<=n;++i)ans+=(ll)mu[i]*fa[i]*fb[i]*fc[i];
	for(int re i=1;i<=n;++i)if(mu[i])
	for(int re j=1;j*i<=n;++j)if(mu[i*j])
	for(int re k=1;i*j*k<=n;++k)if(k!=j&&mu[i*k]&&gcd(k,j)==1){
     
		int x=i*j,y=i*k,z=i*j*k,tmp=mu[x]*mu[x]*mu[y];
		ans+=(ll)tmp*fa[x]*fb[z]*fc[z];
		ans+=(ll)tmp*fb[x]*fa[z]*fc[z];
		ans+=(ll)tmp*fc[x]*fa[z]*fb[z];
		if(x>y)a[++tot]=(data){
     x,y,z},++deg[x],++deg[y];
	}

	for(int re i=1;i<=tot;++i)
	if(check(a[i]))edge[a[i].x].push_back((E){
     a[i].y,a[i].z});
	else edge[a[i].y].push_back((E){
     a[i].x,a[i].z});
	
	for(int re x=1;x<=n;++x)if(mu[x]){
     
		for(int re e=0;e<edge[x].size();++e){
     
			int y=edge[x][e].to,z=edge[x][e].val;
			sa[y]=fa[z];
			sb[y]=fb[z];
			sc[y]=fc[z];
		}
		for(int re e=0,y,w1;e<edge[x].size();++e){
     
			y=edge[x][e].to,w1=edge[x][e].val;
			if(mu[y])for(int re k=0,z,w2,tmp;k<edge[y].size();++k){
     
				z=edge[y][k].to,w2=edge[y][k].val,tmp=mu[x]*mu[y]*mu[z];
				ans+=(ll)tmp*fa[w1]*fb[w2]*sc[z];
				ans+=(ll)tmp*fa[w1]*fc[w2]*sb[z];
				ans+=(ll)tmp*fb[w1]*fa[w2]*sc[z];
				ans+=(ll)tmp*fb[w1]*fc[w2]*sa[z];
				ans+=(ll)tmp*fc[w1]*fa[w2]*sb[z];
				ans+=(ll)tmp*fc[w1]*fb[w2]*sa[z];
			}
		}
		for(int re e=0;e<edge[x].size();++e){
     
			int y=edge[x][e].to;
			sa[y]=sb[y]=sc[y]=0;
		}
	}
	
	cout<<ans%mod<<"\n";
}

inline void init(){
     
	for(int re i=1;i<=n;++i)edge[i].clear();
	memset(fa+1,0,sizeof(int)*n);
	memset(fb+1,0,sizeof(int)*n);
	memset(fc+1,0,sizeof(int)*n);
	memset(deg+1,0,sizeof(int)*n);
}

int T;
signed main(){
     
	linear_sieves();
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
     
		init();
		solve();
	}
	return 0;
}