[BZOJ5332] [SDOI2018] 旧试题 & [BZOJ5276] Skyfall [莫比乌斯反演][三元环计数][std::vector][Cache Miss]

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Luogu - https://www.luogu.org/problemnew/show/P4619
BZOJ - https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5332

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Description
$T$ 组询问。每一组给出 $1\le A,B,C\le 10^5$ 求：
$$\sum _{i=1}^A\sum _{j=1}^B\sum _{k=1}^{C}d(ijk)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10^9+7$$
满足 $1\le \sum \max (A,B,C)\le 2\times 10^5$ 。

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$$\begin{array}{rcl}& & \sum _{i=1}^A\sum _{j=1}^B\sum _{k=1}^{C}d(ijk)\\ & =& \sum _{i=1}^A\sum _{j=1}^B\sum _{k=1}^C[(i,j)=1][(j,k)=1][(k,i)=1]\lfloor \frac{A}{i}\rfloor \lfloor \frac{B}{j}\rfloor \lfloor \frac{C}{k}\rfloor \\ & =& \sum _{i=1}^A\sum _{j=1}^B\sum _{k=1}^C\sum _{a|(i,j)}\mu (a)\sum _{b|(j,k)}\mu (b)\sum _{c|(k,i)}\mu (c)\lfloor \frac{A}{i}\rfloor \lfloor \frac{B}{j}\rfloor \lfloor \frac{C}{k}\rfloor \end{array}$$
但是这个时候你不好继续按照 Number Challenge 的方法推，
而且上面那条式子你也不好化开。那怎么办呢？
回退一层
$$\sum _{i=1}^A\sum _{j=1}^B\sum _{k=1}^C[(i,j)=1][(j,k)=1][(k,i)=1]\lfloor \frac{A}{i}\rfloor \lfloor \frac{B}{j}\rfloor \lfloor \frac{C}{k}\rfloor$$
你康到了什么？
实际上在推的时候就应该注意到的。$(i,j)(j,k)(k,i)$ 显然是一个三元环的形式
我们把互质的数两两连边，然后做三元环计数，每个三元环 $(i,j,k)$ 的贡献是
$$\left(\lfloor \frac{A}{i}\rfloor +\lfloor \frac{B}{i}\rfloor +\lfloor \frac{C}{i}\rfloor \right)+\left(\lfloor \frac{A}{j}\rfloor +\lfloor \frac{B}{j}\rfloor +\lfloor \frac{C}{j}\rfloor \right)+\left(\lfloor \frac{A}{k}\rfloor +\lfloor \frac{B}{k}\rfloor +\lfloor \frac{C}{k}\rfloor \right)$$
但是问题就来了：数最多有 $2\times 10^5$ 个，把互质的数两两连边的话就有好多好多个边
好多个边边
是吗
真的吗
复杂度的问题不能傻逼估计 你想想啊
$$\frac{n(n-1)}{2{\ln }^{2}n}$$
震 惊 好大啊 完了 那还真的跑卜过去
那怎么办啊？
说明我们这个力度不够 要加大力度
搞成什么呢 反演啊 搞个约数出来啊 $d^2(n)$ 总没有问题吧 能 ${\omega }^2(n)$ 就更美滋滋啦
不要放弃治疗 结果还是得硬化嘛
$$\sum _{i=1}^A\sum _{j=1}^B\sum _{k=1}^C[(i,j)=1][(j,k)=1][(k,i)=1]\lfloor \frac{A}{i}\rfloor \lfloor \frac{B}{j}\rfloor \lfloor \frac{C}{k}\rfloor$$
$$\sum _{i=1}^A\sum _{j=1}^B\sum _{k=1}^C\lfloor \frac{A}{i}\rfloor \lfloor \frac{B}{j}\rfloor \lfloor \frac{C}{k}\rfloor \sum _{u|(i,j)}\sum _{v|(j,k)}\sum _{w|(k,i)}\mu (u)\mu (v)\mu (w)$$
$$\sum _{u=1}^{\min (A,B)}\sum _{v=1}^{\min (B,C)}\sum _{w=1}^{\min (C,A)}\mu (u)\mu (v)\mu (w)\sum _{u|i\&v|i}\sum _{v|j\&w|j}\sum _{w|k\&u|k}\lfloor \frac{A}{i}\rfloor \lfloor \frac{B}{j}\rfloor \lfloor \frac{C}{k}\rfloor$$
$$\sum _{u=1}^{\min (A,B)}\sum _{v=1}^{\min (B,C)}\sum _{w=1}^{\min (C,A)}\mu (u)\mu (v)\mu (w)\sum _{[u,v]|i}\lfloor \frac{A}{i}\rfloor \sum _{[v,w]|j}\lfloor \frac{B}{j}\rfloor \sum _{[w,u]|k}\lfloor \frac{C}{k}\rfloor$$
后面三个当然可以预处理辣 设为 $f(x,y)=\sum _{y|i}\lfloor \frac{x}{i}\rfloor$ 只需要处理 $x=A,x=B,x=C$ 的情况。
$$\sum _{u=1}^{\min (A,B)}\sum _{v=1}^{\min (B,C)}\sum _{w=1}^{\min (C,A)}\mu (u)\mu (v)\mu (w)f(A,[u,v])f(B,[v,w])f(C,[w,u])$$
熟悉的样子
对于 $(u,v,w)$ 三元环，边是 $f()$ 点是 $\mu$
$\mu =0$ 的点不应存在。
而且：两点有边当且仅当 $f(,[])̸=0$ 也就是说，比如 $(u,v)$ 应该有 $[u,v]\le \min (A,B,C)$ 才能连边
对于这样的两点我们连一条边，边权为 $lcm$ 方便到时候算 $f$

建边怎么做呢？首先你要知道 $\max (A,B,C)$ 以内所有数的质因子 这个要埃筛
直接枚举两个数连边肯定会炸，所以先枚举 $u$ 再枚举子集 $(u,v)$ 最后直接得到 $v$
或者枚举 $gcd$ 然后搞出 $u$ 和 $v$
（实际上暴枚判断mu gcd然后continue也可以，而且不用埃筛（线性筛即可）。不过常数可能有、、、大）
（大就大吧，好写啊。。）
复杂度 $O(卡过)$
$O(卡过)<<O\left(\sum _{n=1}^{\max (A,B,C)}{3}^{\omega (n)}\right)$

然后对于每次询问就三元环计数。边定向+暴枚 $O(m\sqrt{m})$
emm 关于 $m$ 的大小嘛 有一个非常松的上界 $(729\times 10^5)$ 实际上实践一下就发现挺少的
$7\times 10^5$ 级别。然后大概大概可以过。

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好啊 有没有发现 很卡常数嘛 你还要处理各种细节 比如两个/三个点重复的情况需要额外算。。

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谁能告诉我为啥我的 vector 开 O2 反而变慢了，，，

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define R register
const int MOD = 1e9 + 7;
const int MAXN = 1e5 + 5;
const int MAXA = 1e5;
int T, A, B, C, Mx, Mn, PrimeList[MAXN], Mu[MAXN], Deg[MAXN], Mark[MAXN], Stray[MAXN];
long long Fa[MAXN], Fb[MAXN], Fc[MAXN], Ans;
bool NotPrime[MAXN];
struct Minimal
{
     
	int v, w;
	Minimal(const int& vv = 0, const int& ww = 0) {
      v = vv, w = ww;}
};
vector<Minimal>e[MAXN];
int tot;
struct St
{
     
	int u, v, w;
	St(const int& uu = 0, const int& vv = 0, const int& ww = 0) {
      u = uu; v = vv; w = ww;}
}Edg[800005];
int gcd(const int& a, const int& b)
{
     
	return !b?a:gcd(b,a%b);
}
long long Calc(const int& a, const int& b, const int& c)
{
     
	return Fa[a] * Fb[b] * Fc[c] +
		   Fa[a] * Fb[c] * Fc[b] +
		   Fa[b] * Fb[a] * Fc[c] +
		   Fa[b] * Fb[c] * Fc[a] +
		   Fa[c] * Fb[a] * Fc[b] +
		   Fa[c] * Fb[b] * Fc[a] ;
}
int main()
{
     
	NotPrime[0] = NotPrime[1] = 1; Mu[1] = 1;
	for (R int t, i = 2; i <= MAXA; ++i)
	{
     
		if (!NotPrime[i]) PrimeList[++PrimeList[0]] = i, Mu[i] = -1;
		for (R int j = 1; j <= PrimeList[0] && (t = i * PrimeList[j]) <= MAXA; ++j)
		{
     
			NotPrime[t] = 1;
			if (!(i % PrimeList[j])) break;
			Mu[t] = -Mu[i];
		}
	}
	scanf("%d", &T);
	R long long f;
	while (T--)
	{
     
		scanf("%d%d%d", &A, &B, &C); Mx = max(max(A, B), C); Mn = min(min(A, B), C); tot = Ans = 0;
		fill(Fa, Fa + Mx + 1, 0); fill(Fb, Fb + Mx + 1, 0); fill(Fc, Fc + Mx + 1, 0);
		fill(Deg, Deg + Mx + 1, 0); fill(Mark, Mark + Mx + 1, 0);
		for (R int i = 1; i <= Mx; ++i) e[i].clear();
		for (R int i = 1; i <= A; ++i) for (R int j = i; j <= A; j += i) Fa[i] += A / j;
		for (R int i = 1; i <= B; ++i) for (R int j = i; j <= B; j += i) Fb[i] += B / j;
		for (R int i = 1; i <= C; ++i) for (R int j = i; j <= C; j += i) Fc[i] += C / j;
		for (R int i = 1; i <= Mn; ++i) Ans += Mu[i] * Fa[i] * Fb[i] * Fc[i];
		for (R int x, i = 1; i <= Mx; ++i)
		{
     
			if (!Mu[i]) continue;
			for (R int j = 1, t = i; t <= Mx; ++j, t += i)
			{
     
				if (!Mu[t]) continue;
				f = 1ll * t * (j + 1);
				for (R int k = j + 1; f <= 1ll * Mx; ++k, f += t)
				{
     
					if (!Mu[x = i * k]) continue;
					if (j == 1 || k == 1 || gcd(j, k) == 1)
					{
     
						Ans += Mu[x] * (Fa[t] * Fb[f] * Fc[f] + Fa[f] * Fb[t] * Fc[f] + Fa[f] * Fb[f] * Fc[t]);
						Ans += Mu[t] * (Fa[x] * Fb[f] * Fc[f] + Fa[f] * Fb[x] * Fc[f] + Fa[f] * Fb[f] * Fc[x]);
						++Deg[x], ++Deg[t]; Edg[++tot] = St(t, x, f);
					}
				}
			}
		}
		for (R int i = 1; i <= tot; ++i)
		{
     
			R int &u = Edg[i].u, &v = Edg[i].v;
			if (Deg[u] > Deg[v] || (Deg[u] == Deg[v] && u < v)) e[u].push_back(Minimal(v, Edg[i].w));
			else e[v].push_back(Minimal(u, Edg[i].w));
		}
		for (R int tt, i = 1; i <= Mx; ++i)
		{
     
			tt = e[i].size();
			for (R int j = 0; j < tt; ++j) Mark[e[i][j].v] = i, Stray[e[i][j].v] = e[i][j].w;
			for (R int kksk, u, v, j = 0; j < tt; ++j)
			{
     
				u = e[i][j].v; kksk = e[u].size();
				for (R int k = 0; k < kksk; ++k)
				{
     
					v = e[u][k].v;
					if (Mark[v] == i) Ans += Calc(Stray[v], e[i][j].w, e[u][k].w) * Mu[i] * Mu[u] * Mu[v];
				}
			}
		}
		printf("%lld\n", Ans % MOD);
	}
	return 0;
}