2016广东省省赛H题

题意：计算：

∑i=1n∑j=1mi2j2gcd(i,j)

（时限1000ms）

input:

T(t<=1000),接下来t行，m,n(n,m<1e6).

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题目难点在于多了i,j的平方，由对称性，设n < m，可以这样化简：

=====d′=kd===∑i=1n∑j=1mi2j2gcd(i,j)∑i=1n∑j=1m∑d|i,d|ji2j2d[(id,jd)=1]∑d=1n∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊md⌋i2j2d5[(i,j)=1]∑d=1n∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊md⌋i2j2d5∑d′|i,d′|jμ(d′)∑d=1n∑d′=1⌊nd⌋∑i=1⌊ndd′⌋∑j=1⌊mdd′⌋i2j2d′4d5μ(d′)∑k=1n∑d|k∑i=1⌊nk⌋∑j=1⌊mk⌋i2j2k4dμ(kd)∑k=1n∑i=1⌊nk⌋∑j=1⌊mk⌋i2j2k4(μ∗Id)∑k=1n∑i=1⌊nk⌋∑j=1⌊mk⌋i2j2k4ϕ(k)∑k=1nk4ϕ(k)(∑i=1⌊nk⌋i2)(∑j=1⌊mk⌋j2)(1)(2)(3)

推导到这里就可以解决了。

k4ϕ(k) 这部分可以打表求前缀和， ∑⌊nk⌋i=1i2，∑⌊mk⌋j=1j2 这部分打表或者用平方和公式。对于固定的 n,⌊nk⌋ 共有 O(n−−√) 个取值，所以总复杂度是 O(n−−√+m−−√)

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(2)式中符号*代表卷积， Id 函数代表 Id(n)=n ;他们的卷积是 ϕ(n) ,下面给出证明：
由于 μ,Id 都是积性函数，所以他们卷积也是积性函数.
令 n=∏si=1pkii 那么：

∑d|ndμ(nd)=∏i=1s(∑j=0kipjiμ(pkiipji))=∏i=1s(pkii−pki−1i)=ϕ(n)

对比(1),(3)式子，感觉很相似，可是在推导过程从莫比乌斯反演然后卷积才得出欧拉函数，感觉是绕了一下，不知有没有更好的推导方法。

后来发现原来第一步可以这样化简：

=∑i=1n∑j=1mi2j2gcd(i,j)∑i=1n∑j=1mi2j2∑k|gcd(i,j)ϕ(k)

接着就有后面了。。。捂脸

这里简单补一个证明：
∑k|nϕ(k)=n
ϕ(n) 是积性函数，同样设 n=∏si=1pkii
那么有：
∑k|nϕ(k)=∏si=1∑kij=0ϕ(pji)=∏si=1(1+∑kij=1(pji−pj−1i))=∏si=1pkii=n
所以其实对于gcd的某些问题，用欧拉函数处理要比反演要优。mark。
相关代码：

const int maxn = 1000006;
int prime[maxn];
int phi[maxn];
void getP();//欧拉函数打表,之后要和i^4相乘再求前缀和
int sum2[maxn];//∑i^2

int main()
{
    //...
    int ans=0;
    if(n>m) swap(n,m);
    for(int i=1,j;i<=n;i=j+1)
    {
        j=min(m/(m/i),n/(n/i));
        ans+=(phi[j]-phi[i-1])*sum2[m/i]*sum2[n/i];//这里还没考虑溢出
        ans%=mod;
    }
    //...
}