2018-hyy的练习赛总结
hyy的练习赛总结
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题目为hyy大佬原创。
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以下代码默认开 O 2 \ O2 O2
hyy有鱼系列(序章)
题解
显然，这是一个图论最短路的题目，建图之后 d i j s t r a \ dijstra dijstra即可解决。
#includehyy有鱼系列(1)
题解
覆盖整个区间，问最少使用数，这显然是可以用 d p \ dp dp来写的。
我们设 t o i \ to_{i} toi，表示以 i \ i i为右端点的所有区间中，最小的左端点；设 f i \ f_{i} fi表示 [ 1 , i ] \ [1,i] [1,i]都被覆盖的最小使用数。我们可以得到以下方程：
f i = ( min j = t o i − 1 i − 1 f j ) + 1 f_{i}= (\min_{j=to_{i}-1}^{i-1} f_{j}) + 1 fi=(j=toi−1mini−1fj)+1
可以证明这是正确的。
唯一的问题是这么做的复杂度是 O ( n 2 ) \ O(n^{2}) O(n2)的，不过很多数据结构都支持求区间求最小值，这里我使用的是线段树。
#include当然
这种写法虽然无脑，但是确实不怎么巧妙。不过稍加思索之后，它可以转化为最短路的模型。
每一个区间 [ l , r ] \ [l,r] [l,r]都建一条边 l − 1 → r \ l-1 \rightarrow r l−1→r，但是这样的话，怎么允许区间的覆盖呢？很简单，每个节点 i \ i i都向 i − 1 \ i-1 i−1建一条边即可。
#includehyy有鱼系列(2)
题解
显然是一个五维的完全背包，也许有大佬可以使用状态压缩，但实际上裸的背包也可以过这道题。
#includehyy有鱼系列(3)
题解
一道还算不错的 d p \ dp dp题。
如果不看保质期，这道题就是个完全背包。因为每天吃的食物是互不影响的，所以只需要每天取最小的可以让小鱼吃饱的钱就行了。
而加上保质期，这个问题就变成了了如何将完全背包中的某个物品删除。这个问题无疑是非常困难的。所以不如倒着来，从最后一天开始，一个个将物品加入完全背包。
#includehyy有鱼系列(4)
题解
由于 T ≤ 1000 \ T \leq 1000 T≤1000，所以每一行建一棵线段树就可以了。
如果将 T \ T T变为 50000 \ 50000 50000，二维线段树可以解决一切问题。
#includehyy有鱼系列(5)
题解
乍一看很蒙，但是我们细细想一想就不是很蒙了。
c = 1 \ c=1 c=1
我们先对一个二进制数考虑：
A = 10101 x x x x x x , A < 10101100000 A=10101xxxxxx,A < 10101100000 A=10101xxxxxx,A<10101100000
x \ x x是不确定的数字，有 n u m \ num num位,已经确定的 1 \ 1 1有 s u m \ sum sum个，从左往右第一个 x \ x x恒为 0 \ 0 0。
因为要计算所有的1的总和，我们先考虑后面未知的部分。如果设某一位为 1 \ 1 1，其他的部分有 2 n u m − 2 \ 2^{num-2} 2num−2种可能，所以这一部分的总和为 ( n u m − 1 ) ⋅ 2 n u m − 2 \ (num-1) \cdot 2^{num-2} (num−1)⋅2num−2；接着考虑前面的部分。未知的部分可能性有 2 n u m − 1 2^{num-1} 2num−1种，所以是 s u m ⋅ 2 n u m − 1 \ sum \cdot 2^{num-1} sum⋅2num−1。
现在得出结论，设 n \ n n的二进制写法中 1 \ 1 1的写法为 n = s t o t s t o t − 1 s t o t − 2 ⋯ s 3 s 2 s 1 , s i ∈ { 0 , 1 } \ n=s_{tot}s_{tot-1}s_{tot-2} \cdots s_{3}s_{2}s_{1},s_{i} \in \{ 0,1 \} n=stotstot−1stot−2⋯s3s2s1,si∈{ 0,1}。
答案为：
( ∑ i = 1 t o t s i ) + ∑ i = 1 t o t { s i ⋅ [ ( ∑ j = i + 1 t o t s j ) 2 i − 1 + ( i − 1 ) 2 i − 2 ] } (\sum_{i=1}^{tot}s_{i}) + \sum_{i=1}^{tot} \{ s_{i} \cdot [(\sum_{j=i+1}^{tot} s_{j})2^{i-1} + (i-1) 2^{i-2}] \} (i=1∑totsi)+i=1∑tot{ si⋅[(j=i+1∑totsj)2i−1+(i−1)2i−2]}
c = 2 \ c=2 c=2
和刚才的考虑方法类似，但是只用考虑后面未知的部分
A = 10101 x x x x x x , A < 10101100000 A=10101xxxxxx,A < 10101100000 A=10101xxxxxx,A<10101100000
x \ x x是不确定的数字，有 n u m \ num num位,已经确定的 1 \ 1 1有 s u m \ sum sum个，从左往右第一个 x \ x x恒为 0 \ 0 0。
当有 j \ j j个不确定的数字为 1 \ 1 1时，所有的情况有 ( s u m − 1 j ) \ \binom{sum-1}{j} (jsum−1)种，显然这一部分的结果为 ( j + s u m ) ( s u m − 1 j ) \ (j+sum)^{\binom{sum-1}{j}} (j+sum)(jsum−1)，即可得出结论。
设 n \ n n的二进制写法中 1 \ 1 1的写法为 n = s t o t s t o t − 1 s t o t − 2 ⋯ s 3 s 2 s 1 , s i ∈ { 0 , 1 } \ n=s_{tot}s_{tot-1}s_{tot-2} \cdots s_{3}s_{2}s_{1},s_{i} \in \{ 0,1 \} n=stotstot−1stot−2⋯s3s2s1,si∈{ 0,1}。
答案为：
( ∑ i = 1 t o t s i ) ⋅ ∏ i = 1 t o t [ s i ⋅ ∏ j = 0 j < i ( j + s u m ) ( s u m − 1 j ) ] (\sum_{i=1}^{tot}s_{i}) \cdot \prod_{i=1}^{tot} [ s_{i} \cdot \prod_{j=0}^{j<i} (j+sum)^{\binom{sum-1}{j}} ] (i=1∑totsi)⋅i=1∏tot[si⋅j=0∏j<i(j+sum)(jsum−1)]
通过一些优化可以减少一些复杂度。
#includehyy有鱼系列(5)
题解
展开这个式子，就会得到这样一个形式的东西：
f n = b + a b + a 2 b + a 3 b + ⋯ + a n − 2 b + a n − 1 f_{n}=b+ab+a^{2}b+a^{3}b+ \cdots +a^{n-2}b+a^{n-1} fn=b+ab+a2b+a3b+⋯+an−2b+an−1
是一个等差数列与一个幂的和，这两个都有 O ( log n ) \ O( \log n) O(logn)的做法。
设 s u m p , c = 1 + p + p 2 + ⋯ + p c \ sum_{p,c}=1+p+p^{2}+ \cdots +p^{c} sump,c=1+p+p2+⋯+pc，有
s u m p , c = { 1 , c = = 0 p + 1 c = = 1 ( 1 + p c 2 ) s u m p , c 2 − 1 + p c o t h e r sum_{p,c}= \begin{array}{rcl} \begin{cases} 1, & & c==0\\ p + 1 & & c==1\\ (1+p^{\frac{c}{2}})sum_{p,\frac{c}{2}-1}+p^{c} & & other \end{cases} \end{array} sump,c=⎩⎪⎨⎪⎧1,p+1(1+p2c)sump,2c−1+pcc==0c==1other
证明略
#include hyy有鱼系列(7)
题解
S T L \ STL STL在 O 2 \ O2 O2下巨快。
l c p \ lcp lcp？ k m p \ kmp kmp啊！
#includehyy有鱼系列(8)
题解
先考虑 m = 1 \ m=1 m=1的情况， a i \ a_{i} ai表示第 i \ i i个数字。这时矩阵变成区间。
首先：
- [ l , l ] \ [l,l] [l,l]一定是波澜区间。
- [ l , r ] , l < r \ [l,r],l < r [l,r],l<r是波澜区间的要求是任意 x , l ≤ x < r \ x,l \leq x < r x,l≤x<r， [ l , x ] \ [l,x] [l,x]是波澜区间， [ x + 1 , r ] \ [x+1,r] [x+1,r]是波澜区间，且 a x = ≠ a x + 1 \ a_{x}= \neq a_{x+1} ax≠=ax+1。
正确性是显然的。这两条使我们可以用线段树维护。
m > 1 \ m>1 m>1时呢？容易想到建 m \ m m棵线段树，但是这样复杂度是过不去的 （我卡过9九点）。实际上状态压缩，用二进制表示就可以了。
#include最终总结
orzhyy
比赛的时候第六题没有优化，结果没有 A \ A A
个人觉得这一堆题还是不错的，不过我太菜了就是。