【题解】CCPC-Final 2019 C - Mr. Panda and Typewriter

题目

题意

给一个打字机，有三种操作：

1. 打一个字符花费X的时间
2. 复制一段已经打过的子串到剪贴板，花费Y的时间
3. 粘贴剪贴板内容到串末尾，剪贴板内容不变，花费Z的时间
   求打出给定串最短的用时
   要求复杂度 $O(n^2)$

题解

很容易想到DP，在观察一下这个状态是$n^2$的：
$f[i][j]:表示已经输入了i，当前剪贴板是当前串长度为j的后缀，j=0表示剪贴板为空$。通过转移来说明为什么只需要记录剪贴板为后缀的情况：

1. 重新剪贴再粘贴: $f[i][j]<-f[i-j][j]+Y+Z$
2. 把上一段剪贴板中的东西再粘贴一次：$f[i][j]<-f[pre[i][j]][j]+(i-pre[i][j]-j)\ast X+Z$ 这里比较巧妙，因为剪贴板要再粘贴的话一定是在下一个出现位置，中间这一段都是单个输入。
3. 若剪贴板为空，输入单个字符 : $f[i][0]<-f[i-1][0]+X，注意这里f[i-1][0]已经代表所有状态的最小值，因为忽视剪贴板内容不需要代价$
   可以看出，只要剪贴板中的内容还有用，那么我们一定会进行粘贴操作，此时剪贴板的内容就是新串的后缀。

然后是求: $pre[i][j]:表示在i结尾长度为j的串的上一个出现结尾位置$。 这个用lcs来求最方便（不用hash，因为是对所有串进行处理）。利用更长串的信息，直接倒着扫一遍即可求出，详见代码。

#include
using namespace std;
#define PB push_back
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define ls(x) (x << 1)
#define rs(x) ((x << 1) | 1)
#define rep(i,l,r) for (int i = l ; i <= r ; i++)
#define down(i,r,l) for (int i = r ; i >= l ; i--)
#define fore(i,x) for (int i = head[x] ; i ; i = e[i].next)
#define SZ(v) (int)v.size()

typedef long long ll;
typedef pair <int,int> pr;
const int maxn = 1e6 + 10;
const ll inf = 1e18;

void up (ll &x,ll y){
      if ( x > y ) x = y; }
ll solve(){
     
	int n; ll X,Y,Z;
	cin>>n>>X>>Y>>Z;
	vector <vector <int>> lcs(n,vector <int> (n)) , pre(n,vector <int> (n,-1));
	vector <int> s(n);
	rep(i,0,n - 1) cin>>s[i];
	rep(i,0,n - 1) rep(j,0,n - 1){
     
		if ( s[i] == s[j] ) lcs[i][j] = (i > 0 && j > 0) ? (lcs[i - 1][j - 1] + 1) : 1;
		else lcs[i][j] = 0;
	}
	rep(i,0,n - 1) rep(j,0,i - 1) pre[i][min(i - j,lcs[i][j])] = j;
	rep(i,0,n - 1) down(j,i - 1,0) pre[i][j] = max(pre[i][j],pre[i][j + 1]);
	vector <vector <ll>> f(n,vector <ll> (n,inf));
	f[0][0] = X;
	rep(i,1,n - 1){
     
		f[i][0] = f[i - 1][0] + X;
		rep(j,1,i){
     
			if ( pre[i][j] == -1 ) continue;
			up(f[i][j],f[pre[i][j]][j] + (i - pre[i][j] - j) * X + Z);
			up(f[i][j],f[i - j][0] + Y + Z);
			up(f[i][0],f[i][j]);
		}
	} 
	return f[n - 1][0];
}
int main(){
     
	ios_base::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
	int cases;
	cin>>cases;
	rep(t,1,cases){
     
		cout<<"Case #"<<t<<": "<<solve()<<"\n";
	}
}

总结

也是复习，第二次做这个题目。还是觉得比较经典。这次还是以为要用hash来求pre，忘记了最简单的方法！