ofdm的理解

       exp（j2*pi*f*t)频域就是振幅为1，频率为f的一个stem。这是t的范围在无限的条件下。但是当t

1) 首先，OFDM的意思是Orthogonal Frequency Division Multiplexing， 正交频分复用。所以OFDM的正交说的是频域内的正交。

在OFDM技术里，使用一组正交载波来传送信息，该载波组一般具有形式如E={e^jt, e^2jt, e^3jt, ..., e^kjt}, j表示虚数单位(好吧，数学里用的是i,不过工程里边一般用很屌丝的j), 0
在集合E里边任意取两个载波作一下内积可得，上式就是子载波相互正交的含义。不同子载波之间内积为0，在Hilbert Space里，这个意思就是正交。

将各子载波组傅里叶变换一下，可以得到如下图形，分别是FDM和OFDM（google上面找的）。
从频域的图形很容易看出来，与传统的频分复用（FDM）相比较，OFDM的子载波在频率域上是会重叠的，没有任何保护频带将彼此不同的载波隔开来。但是在各频域的采样点上(-f2, -f1, f0, f1, f2)，其他子载波不会对当前载波的取值产生影响，因而载波组携带的信息可以在接收端被完全解调出来。另外，由于不需要保护频带以及子载波可以相互重叠，OFDM具有很高的频谱效率，这一点很重要，因为它表示可以节省很多频谱资源。

2) 然后OFDM是怎么工作的呢？ 首先假设我们使用N组正交的子载波，那么在一个载波周期T里，发送端可以同时传送N个信息{a1, a2, a3, ..., aN}， 每一个发送信息ak会调制相应的子载波e^jkt。然后将这组信号相加并发送，在一个周期内，发送信号有下面的形式。而在接收端，不同的子载波和接收信号作内积（在这里先假设噪声和衰变等因素不存在），第k个子载波输出端会得到信息：从这个式子可以看出，在接收端可以从一组叠加起来的信号里无误地解调出发送端的信息。这就是OFDM最基本的工作原理。

3) 上面两个解释只能说明OFDM在理论上很漂亮，但是在实际应用中，如果要产生N组正交子载波，那么需要2N个振荡器(同相分量一个，正交分量一个)，在工程实践中很不划算(甚至是很难做出来？木有工程实践经验，全都是纸上谈兵)。

从上面的发送端信号表达式可以看出，如果对每个发送信号进行采样，使用1/2T的采样频率，我们会得到第n个采样值：这是神马东东...？ 尼玛不正是离散傅里叶反变换（IDFT）么亲！！！ 这才是重点啊，因为有硬件可以通过快速傅里叶变换很方便地实现DFT，所以在硬件上OFDM是可行滴。而且...是方便可行，在发送端每隔时间T把N个发送信号(串并转换)丢到一个IFFT硬件里边，然后将输出信号DA转换，再加个载波放到天线那里就可以发送了。接收端做相反的工作，首先接收射频信号，然后下变频到基带，再然后AD转换一下将模拟信号变数字信号，最后将那串数字输出丢进一个FFT器件，出来的(并串转换)就是发送的信号了。是不是很神奇啊亲不过我没打算征求你的意见因为不管你怎么认为反正我觉得真的很碉堡很神奇啊。下面放个系统图，当然OFDM没有这么简单，还有一堆的问题要处理，不过最最基本的原理就是这样。
4) 基本原理说完了，不过OFDM到底拿来干神马用？？？ 
好吧这个问题很无聊，它是用于无线通信的。 不过更准确地说，OFDM是用于高速率的无线通信应用的。

无线通信和有线通信最根本的区别之一就是无线信道是一个时变的衰落信道，在不同的时间段里信道的衰落是不一样的，更严峻的问题在于，无线信道中存在多径效应(multipath)，发送的信号会被不同的物体反射，最后在接收端可能产生多个可分辨的(resolvable)信号，类似于你在一间很大的空荡荡的房子里高喊一句"尼玛！"然后会有若干个回声。

另外，因为传送的不仅仅只有一个信号，还有很多别的信号，所以有可能在接收的时候，别的信号会对当前的解调产生影响，这就是码间干扰(ISI)。类似于在那个大的空荡荡的房间里喊完"1"然后喊"2"再喊"3"...（谁会这么无聊）那么当你听到"2"的时候可能还会有"1"的回声，这就是所谓码间干扰。

一般来说，可分辨的干扰信号数量是和所谓相关带宽有关的，在室外一般来说大概是100kHz。也就是说如果发送端使用1MHz的传输带宽发送一个信号"a"，接收端会收到10个具有不同衰减的"a"，当然还有别的bcde... 这么一来，解调时将会面对码间干扰的问题。任何一个学通信的筒子对码间干扰都是深恶痛绝的，有什么危害就不展开讲了。

对付ISI，可以用均衡的方法，这也是在GSM系统中使用的技术。但是复杂度很高，一般也只能应对2到3个可分辨的干扰信号，再多的话手机就受不了了。另外一个方法是扩频，这个是CDMA使用的方法，也是一种令人叹服的方法。当然还有一个，就是我们的OFDM。GSM系统中，传输带宽是200kHz，使用均衡技术对付ISI绰绰有余。UMTS里边，传输带宽5MHz，扩频秒爆ISI。到了LTE，传输带宽20MHz，该OFDM出场了。

上面的OFDM系统图里有一个部分是GI(Guard Interval)， 保护间隔。作用是去掉别的信号产生的干扰，仅仅保留当前符号的若干个延迟样本。另外一个作用是IDFT的线性卷积变成圆周卷积。麻痹这么拗口的东西很难说明白，看看下面这个式子就是了(这个分析里仍然假设直接放松连续的信号，IDFT版本的楼主找书看看)。从这里可以看出来，接收端依旧可以无干扰地解调出相应的接收信息，只是会附带几个相位旋转。这样的附加干扰相比ISI是小case，很容易应付。

通过这样的方法，OFDM也轻松地解决了ISI的问题。如果是面对的有线传输等ISI并非主要问题的应用情景，请忘掉OFDM吧。

5) 当然凡事有利必有弊，没什么东西是完美的。从1)里边那个图就可以看到，如果频域的采样点出现偏差，那么所有其他的子载波都会对当前值产生影响。也就是说OFDM对频偏(frequency offset)极度敏感，少量的频偏都会破坏子载波的正交性，何况首先发送端和接收端的频率振荡器就有频偏存在，更不用说多普勒频移了。所以在OFDM接收端要做的一件很重要的事情是频偏补偿，尽可能地纠正频偏产生的影响。还有一点是OFDM一般采用QAM作为调制方式，这个又带来了均峰比的问题(PAPR)，需要功率方法器具有很宽的线性范围。对于手机来说这是不实际的，所以OFDM在LTE里只用于下行传输，上行还是用传统的FDM。

最后提一嘴，OFDM是LTE的关键技术之一。另外两个是MIMO和SAE。而OFDM和MIMO都是有关物理层接入的，而且各司其职：OFDM主要用于对付ISI，将一个频率选择性衰落的信道变成平坦衰落信道，MIMO主要用于空间分集，从而将BER v.s SNR 曲线进一步压向理想情况，最终取得理想的接收特性。

想进一步了解OFDM的话，有一本书推荐给LZ：