【笔记整理】通信原理第二章复习——随机信号分析

随机信号分析

• 确知信号&随机信号
  • 确知信号：取值在任何时间都是确定的和可预知的信号，用函数描述
  • 随机信号：取值不确定且不能事先确切预知的信号，用概率和随机过程描述，用来描述随机过程
• 确定性过程&随机过程
  • 确定性过程：变化过程具有确定的形式，或者说具有必然的变化规律；变化规律可以用一个或几个时间$t$的确定函数来描述
  • 随机过程：没有确定的变化形式，每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律；变化过程不可能用一个或几个时间$t$的确定函数来描述

2.1 确知信号

• 确知信号：取值在任何时间都是确定的和可预知的信号，用函数描述

2.1.1 周期信号&非周期信号

• 周期信号：每隔一定时间（周期）按照相同规律重复且无始无终
  $$s(t)=s(t+T_0)$$
• 非周期信号

2.1.2 能量信号&功率信号

• 能量信号：能量有限信号（平均功率为0）
  • 对于离散信号：满足绝对可和
  • 对于连续信号：满足绝对可积
• 功率信号：功率有限信号（能量为$\infty$）

周期信号是功率信号；
非周期信号中既有功率信号，又有能量信号

2.1.3 确知信号的性质

2.1.3.1 频域性质

信号的频率特性：由其各个频率分量的分布表示，与信号的占用频带宽度和信号的看噪声能力密切相关

2.1.3.1.1 功率信号的频谱

• 周期信号的频谱为傅里叶级数的系数

$$X_n=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn{\Omega }_{0}t}dt$$

• 周期功率信号的频谱：离散型，谐波性，收敛性，非周期性
• 周期信号的傅里叶表示：
  $$x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{X}_n{e}^{jn{\Omega }_{0}t}$$
• 周期性方波的频谱是个实函数，频谱图十一些高度不等的离散线条，每根线条的高度代表该频率分量的振幅

2.1.3.1.2 能量信号的频谱密度

• 能量信号的频谱为该信号的傅里叶变换
  $$X(j\Omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j\Omega t}dt$$

周期功率信号可以当做能量信号看待，引入冲击序列函数后来计算其频谱密度

2.1.3.1.3 能量谱密度

$$E={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2(t)dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{X}^2(j\Omega )d\Omega ={\int }_{-\infty }^{\infty }{X}^2(f)df={\int }_{-\infty }^{\infty }{G}^2(f)df$$
$$G(f)=|X(f){|}^2$$

2.1.3.1.4 功率谱密度

$$P(f)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}|S_T(f){|}^2$$
则信号功率为：
$$P={\int }_{-\infty }^{\infty }P(f)df$$

2.1.3.1.5 确知信号在时域中的性质

• 自相关函数
  • 能量信号的自相关函数
    $$R(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)x(t+\tau )dt$$
  • 功率信号的自相关函数
    $$R(\tau )=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)x(t+\tau )dt$$
  • 性质
    • $R(\tau )$反映了一个信号与其延迟$\tau$秒后的信号之间的相关程度，它只和$\tau$有关，和$t$无关
    • 当$\tau =0$时，
      • 能量信号的$R(\tau )$等于信号的能量
      • 功率信号的$R(\tau )$等于信号的平均功率
• 互相关函数
  • 能量信号的互相关函数
    $$R_{12}(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}_1(t)x_2(t+\tau )dt$$
  • 功率信号的互相关函数
    $$R_{12}(\tau )=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{x}_1(t)x_2(t+\tau )dt$$
  • 性质
    • 互相关函数反映了一个信号与延迟$\tau$秒后的另一个信号之间相关的程度
    • $R_{12}(t)$只和$\tau$有关，和$t$无关
    • $R_{12}(\tau )=R_{12}(-\tau )$

2.2 随机过程的一般表述

• 随机信号：取值不确定且不能事先确切预知的信号，用概率和随机过程描述，用来描述随机过程。由无穷多个样本函数的总体叫做随机过程

2.2.1 随机过程的基本特性

• 它是一个时间函数
• 在固定的某一观察时刻$t_1$，全体样本在$t_1$时刻的取值$x_1(t)$是一个不含$t$变化的随机变量

可以把把随机过程看成依赖时间参数的一族随机变量

2.2.2 随机过程的统计特性

• 分布函数
• 概率密度函数

2.2.3 随机过程的数字特征

• 数学期望
  $$a(t)=E[\xi (t_1)]={\int }_{-\infty }^{\infty }x{f}_1(x,t)dx$$
  • 是时间t的函数
  • 它表示随机过程的$n$个样本函数曲线的摆动中心
• 方差
  $$D[\xi (t)]=E[\xi (t{)}^2]-[a(t){]}^2$$
  它表示随机过程在时刻$t$对于均值$a(t)$的偏离程度

均值和方差描述了随机过程在各个孤立时刻的特征，为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系，还需利用而为概率密度引入新的数字特征。

• 协方差函数$B(t_1,t_2)$和相关函数$R(t_1,t_2)$
  衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度
  • 协方差函数
    $$B(t_1,t_2)=E[\xi (t_1)-a(t_1)][\xi (t_2)-a(t_2)]$$
  • 自协方差函数
    $$R(t_1,t_2)=E[\xi (t_1)\xi (t_2)]$$
  • 协方差函数与相关函数的关系
    $$B(t_1,t_2)=R(t_1,t_2)-a(t_1)a(t_2)$$
  • 互协方差及互相关函数
    • 互协方差函数：
      $$B_{\xi \eta }(t_1,t_2)=E[\xi (t_1)-a_{\xi }(t_1)][\xi (t_2)-a_{\xi }(t_2)]$$
  • 互相关函数
    $$R_{\xi \eta }(t_1,t_2)=E[\xi (t_1)-a_{\xi }(t_2)]$$

2.2.4 平稳随机过程

2.2.4.1 平稳随机过程

平稳随机过程（和时间有关的函数，它的任意时刻的取值是不确定的值，它的变量是随机变量）的统计特性不随时间的推移而变化。【区分狭义平稳和广义平稳】

• 狭义平稳（严平稳）
  • 随机过程的统计特性不随时间的推移而变化
  • 无论什么时间测试统计特性都得到相同的结果
• 广义平稳
  • 数学期望与时间无关（均值为常数）
  • 它的自相关函数只与时间间隔$\tau$有关
    $$R(t_1,t_1+\tau )=R(\tau )$$

【区别】

• 广义平稳随机过程的定义只涉及与一维、二维概率密度有关的数字特征
• 一个严平稳随机过程必定是广义平稳随机过程，但反过来不一定成立

2.2.4.2 各态历经性（遍历性）

随机过程的任意实现，经历了随机过程的所有可能状态——平稳随机过程的数字特性，完全可以由随机过程中的任意实现（样本函数）的时间平均特性来代表。

• 时间均值和时间相关函数
  $$\overline{a}=\overline{x(t)}=\underset{T\to \infty }{\lim }{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)dt$$
  $$\overline{R(\tau )}=\overline{x(t)x(t+\tau )}=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)x(t+\tau )dt$$
  如果平稳随机过程使
  $$\{\begin{array}{l}a=\overline{a}\\ R(\tau )=\overline{R(\tau )}\end{array}$$
  则称该平稳随机过程具有各态历经性或遍历性
• “各态历经”的含义
  随机过程中的任一实现都经历了堆积过程的所有可能状态
  【注意】具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的
  在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件

2.2.4.3 平稳随机过程自相关函数的性质

$$R(0)=E[{\xi }^2(t)]=S$$
$$R(\infty )=E^2[\xi (t)]$$
$$R(\tau )=R(-\tau )$$
$$|R(\tau )|\le R(0)$$
$$R(0)-R(\infty )={\sigma }^2$$
• 平稳过程的的功率谱密度
平稳随机过程的功率谱密度与其自相关函数是一对傅立叶变化关系——称为维纳-辛钦关系。

2.2.4.4 平稳随机过程的功率谱密度

维纳-辛钦定理
确知非周期功率信号的自相关函数与其密度是一对傅氏变换关系
【结论】平稳随机过程的功率谱密度$P_{\xi }(\omega )$与其自相关函数$R(\tau )$是一对傅里叶变换关系，即
$$\{\begin{array}{l}{P}_{\xi }(\omega )={\int }_{\infty }^{\infty }R(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau \\ R(\tau )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\infty }^{\infty }{P}_{\xi }(\omega )e^{j\omega \tau }d\omega \end{array}$$

• $P_{\xi }(\omega )\ge 0$，非负性
• $P_{\xi }(-\omega )=P_{\xi }(\omega )$

2.3 高斯随机过程

若随机过程的任意$n$维$(n=1,2,...,n)$分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程

2.3.1 高斯随机过程的性质

1. 高斯过程的$n$维分布完全由$n$个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定
2. 广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的
3. 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的
4. 高斯过程经过线性变换（或线性系统）后的过程，仍是高斯过程
5. 若干个高斯过程的代数和仍是高斯过程

• 一维正态分布$f(x)$具有的特性：
  $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-a{)}^2}{2{\sigma }^2}}$$
  • $f(x)$对称于$x=a$这条线
  • ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$且有${\int }_{-\infty }^{a}f(x)dx={\int }_a^{\infty }f(x)dx=\frac{1}{2}$
  • $a$表示分布中心，$\sigma$表示集中程度。$f(x)$图形将随着$\sigma$的减小而变高和变窄；随$a$的变化左右平移
  • 当$a=0$，$\sigma =1$，称$f(x)$为标准正态分布的密度函数
• 误差函数和互补误差函数
  • 误差函数
    $$erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{e}^{-z^2}dz$$
    • 自变量的递增函数
      $$erf(0)=0,erf(\infty )=1,erf(-x)=-erf(x)$$
  • 互补误差函数
    $$erfc(x)=1-erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_x^{\infty }{e}^{-z^2}dz$$
    • 自变量的递减函数
      $$erfc(0)=1,erfc(\infty )=0,erfc(-x)=2-erfc(x)$$

2.4 高斯白噪声

白噪声：功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即
$$P_{\xi }=\frac{n_0}{2}$$
$n_0$为一常数，单位是瓦/赫$(W/Hz)$
白噪声是一个理想的宽带随机过程，白噪声也是随机过程

• 白噪声的自相关函数
  $$R(\tau )=\frac{n_0}{2}\delta (\tau )$$
  白噪声只有在t=0时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。
• 高斯白噪声
  如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为高斯白噪声
  高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的

2.5 窄带随机过程

• 窄带系统：通带宽度$\Delta f<<f_c$，且$f_c$远离零频率的系统
• 随机过程通过以$f_c$为中心频率的窄带系统的输出，即窄带过程
• 窄带随机过程：大多数实际通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称为窄带随机过程
  • 用示波器观察一个实现的波形，它是一个频率近似为$f_c$，包络和相位随机缓慢变化的正弦波
• 【结论】
  • 如果窄带过程$\xi (t)$是平稳的，则${\xi }_c(t)$与${\xi }_s(t)$也必将是平稳的
    $$\begin{array}{rl}{R}_s(t,t+\tau )=& R_s(\tau )\\ R_{sc}(t,t+\tau )=& -R_{sc}(\tau )\end{array}$$
  • 同相分量${\xi }_c(t)$和正交分量${\xi }_s(t)$具有相同的自相关函数
    $$\begin{array}{rl}{R}_c(\tau )=& R_s(\tau )\\ R_{cs}(\tau )=& -R_{sc}(\tau )\end{array}$$
  • ${\xi }_c(t)$、${\xi }_s(t)$的互相关函数$R_{sc}(\tau )$、$R_{cs}(\tau )$都是$\tau$的奇函数
    $$\begin{array}{rl}{R}_{sc}(\tau )=& -R_{sc}(-\tau )\\ R_{cs}(\tau )=& -R_{cs}(-\tau )\\ R_{sc}(0)=& R_{cs}(0)=0\end{array}$$
  • $\xi (t)$、${\xi }_c(t)$和${\xi }_s(t)$具有相同的平均功率或方差（因为均值为0）
    $${\sigma }_{\xi }^2={\sigma }_{{\xi }_c}^2={\sigma }_{{\xi }_s}^2$$
• 【重要结论】一个均值为0，方差为${\sigma }_{\xi }^2$的窄带平稳高斯过程$\xi (t)$，其同项分量${\xi }_c(t)$和正交分量${\xi }_s(t)$同样是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同；在同一时刻上的同相分量${\xi }_c$与正交分量${\xi }_s$不相关的或统计独立的
• 【重要结论】一个均值为0，方差为${\sigma }_{\xi }^2$的窄带平稳高斯过程$\xi (t)$，其包络$a_{\xi }(t)$的一维分布是瑞利分布，相位${\phi }_{\xi }(t)$的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，$a_{\xi }(t)$和${\phi }_{\xi }(t)$是统计独立的
  $$f(a_{\xi },{\phi }_{\xi })=f(a_{\xi })\cdot f({\phi }_{\xi })$$

2.6 正弦波加窄带高斯噪声

信号经过信道传输后总会收到噪声的干扰，为了减小噪声的影响，通常在接收机前段设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。带通路波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波

• 合成信号包络和相位的统计特性
  • 信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有关
    • 小信噪比时，它接近于瑞利分布
    • 大信噪比时，它接近于高斯分布
    • 一般情况时，它才是莱斯分布
  • 信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有关
    • 小信噪比时，$f(\phi )$接近于均匀分布
    • 大信噪比时，$f(\phi )$主要集中在有用信号相位附近

2.7 随机过程通过线性系统

• 输出过程${\xi }_o(t)$的数学期望
  $$E[{\xi }_o(t)]=a\cdot H(0)$$
  $H(0)$是线性系统在$f=0$处的频率响应（直流增益）
  【结论】输过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流增益$H(0)$的乘积，且$E[{\xi }_o(t)]$与$t$无关
• 输出过程${\xi }_o(t)$的自相关函数
  $$R_o(t_1,t_1+\tau )={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\infty }h(\alpha )h(\beta )R_i(\tau +\alpha -\beta )d\alpha d\beta =R_o(\tau )$$
  【结论】若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的
• 输出过程${\xi }_o(t)$的功率谱密度
  $$P_o(\omega )=H^{\ast }(\omega )\cdot H(\omega )\cdot P_i(\omega )=|H(\omega ){|}^2{P}_i(\omega )$$
  【结论】系统输出功率谱密度是输入功率谱密度$P_i(\omega )$与系统$P_o(\omega )$，然后求其反变换