快速傅立叶变换（FFT）的C++实现

标准的离散傅立叶 DFT 变换形式如：

y_k=Σ_j=0^n-1 a_jω_n^-_kj  = A (ω_n^-_k).

（ω_n^k 为复数 1 的第 k 个 n 次方根，且定义多项式 A (x) = Σ_j=0^n-1 a_jx^j）

而离散傅立叶逆变换 IDFT (Inverse DFT)形式如： a_j=(Σ_k=0^n-1 y_kω_n^kj)/n .

以下不同颜色内容为引用并加以修正：

快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是离散傅立叶变换（Discrete Fourier transform，DFT）的快速算法，它是根据离散傅立叶变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅立叶变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。
设 X_n 为 N 项的复数序列，由 DFT 变换，任一 X_i 的计算都需要 N 次复数乘法和 N -1 次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，一次复数加法等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出 N 项复数序列的 X_i ，即 N 点 DFT 变换大约就需要 N² 次运算。当 N =1024 点甚至更多的时候，需要 N² = 1048576 次运算，在 FFT 中，利用 ω_n 的周期性和对称性，把一个 N 项序列（设 N 为偶数），分为两个 N / 2 项的子序列，每个 N / 2点 DFT 变换需要 (N / 2)² 次运算，再用 N 次运算把两个 N / 2点的 DFT 变换组合成一个 N 点的 DFT 变换。这样变换以后，总的运算次数就变成 N + 2 * (N / 2)² = N + N² / 2。继续上面的例子，N =1024 时，总的运算次数就变成了525312 次，节省了大约   50% 的运算量。而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的 DFT 运算单元，那么N 点的 DFT 变换就只需要 N * log₂N 次的运算，N = 1024 点时，运算量仅有 10240 次，是先前的直接算法的1% ，点数越多，运算量的节约就越大，这就是 FFT 的优越性。

FFT 的实现可以自顶而下，采用递归，但是对于硬件实现成本高，对于软件实现都不够高效，改用迭代较好，自底而上地解决问题。感觉和归并排序的迭代版很类似，不过先要采用“位反转置换”的方法把 X_i 放到合适的位置，设 i 和 j 互为s = log₂N 位二进制的回文数，假设 s = 3,   i = (110)₂   = 6,   j = (011)₂ = 3,   如果 i ≠ j , 那么 X_i 和 X_j 应该互换位置。（关于这个回文数的生成，是很有趣而且是很基本的操作，想当初偶初学 C++ 的时候就有这样的习题。）当“位反转置换”完成后，先将每一个X_i 看作是独立的多项式，然后两个两个地将它们合并成一个多项式（每个多项式有 2 项），合并实际上是“蝶形运算”（Butterfly Operation, 参考《算法导论》吧^_^），继续合并（第二次的每个多项式有 4 项），直到只剩下一个多项式（有 N 项），这样，合并的层数就是 log₂N ，每层都有 N 次操作，所以总共有 N * log₂N 次操作。迭代过程如下图所示，自底而上。

 

C++ 源程序，如下：

//
// 快速傅立叶变换 Fast Fourier Transform
// By [email protected]
// 2007-07-20
// 版本 2.0
// 改进了《算法导论》的算法，旋转因子取 ωn-kj   (ωnkj 的共轭复数)
// 且只计算 n / 2 次，而未改进前需要计算 (n * lg n) / 2 次。
//

#include
#include
#include

const int N = 1024;
const float PI = 3.1416;

inline void swap (float &a, float &b)
{
     float t;
     t = a;
     a = b;
     b = t;
}

void bitrp (float xreal [], float ximag [], int n)
{
     // 位反转置换 Bit-reversal Permutation
     int i, j, a, b, p;

     for (i = 1, p = 0; i < n; i *= 2)
{
         p ++;
}
     for (i = 0; i < n; i ++)
{
         a = i;
         b = 0;
         for (j = 0; j < p; j ++)
   {
             b = (b << 1) + (a & 1);     // b = b * 2 + a % 2;
             a >>= 1;         // a = a / 2;
   }
         if ( b > i)
   {
             swap (xreal [i], xreal [b]);
             swap (ximag [i], ximag [b]);
   }
}
}

void FFT(float xreal [], float ximag [], int n)
{
     // 快速傅立叶变换，将复数 x 变换后仍保存在 x 中，xreal, ximag 分别是 x 的实部和虚部
     float wreal [N / 2], wimag [N / 2], treal, timag, ureal, uimag, arg;
     int m, k, j, t, index1, index2;
    
     bitrp (xreal, ximag, n);

     // 计算 1 的前 n / 2 个 n 次方根的共轭复数 W'j = wreal [j] + i * wimag [j] , j = 0, 1,   , n / 2 - 1
     arg = - 2 * PI / n;
     treal = cos (arg);
     timag = sin (arg);
     wreal [0] = 1.0;
     wimag [0] = 0.0;
     for (j = 1; j < n / 2; j ++)
{
         wreal [j] = wreal [j - 1] * treal - wimag [j - 1] * timag;
         wimag [j] = wreal [j - 1] * timag + wimag [j - 1] * treal;
}

     for (m = 2; m <= n; m *= 2)
{
         for (k = 0; k < n; k += m)
   {
             for (j = 0; j < m / 2; j ++)
    {
                 index1 = k + j;
                 index2 = index1 + m / 2;
                 t = n * j / m;     // 旋转因子 w 的实部在 wreal [] 中的下标为 t
                 treal = wreal [t] * xreal [index2] - wimag [t] * ximag [index2];
                 timag = wreal [t] * ximag [index2] + wimag [t] * xreal [index2];
                 ureal = xreal [index1];
                 uimag = ximag [index1];
                 xreal [index1] = ureal + treal;
                 ximag [index1] = uimag + timag;
                 xreal [index2] = ureal - treal;
                 ximag [index2] = uimag - timag;
    }
   }
}
}

void   IFFT (float xreal [], float ximag [], int n)
{
     // 快速傅立叶逆变换
     float wreal [N / 2], wimag [N / 2], treal, timag, ureal, uimag, arg;
     int m, k, j, t, index1, index2;
    
     bitrp (xreal, ximag, n);

     // 计算 1 的前 n / 2 个 n 次方根 Wj = wreal [j] + i * wimag [j] , j = 0, 1,   , n / 2 - 1
     arg = 2 * PI / n;
     treal = cos (arg);
     timag = sin (arg);
     wreal [0] = 1.0;
     wimag [0] = 0.0;
     for (j = 1; j < n / 2; j ++)
{
         wreal [j] = wreal [j - 1] * treal - wimag [j - 1] * timag;
         wimag [j] = wreal [j - 1] * timag + wimag [j - 1] * treal;
}

     for (m = 2; m <= n; m *= 2)
{
         for (k = 0; k < n; k += m)
   {
             for (j = 0; j < m / 2; j ++)
    {
                 index1 = k + j;
                 index2 = index1 + m / 2;
                 t = n * j / m;     // 旋转因子 w 的实部在 wreal [] 中的下标为 t
                 treal = wreal [t] * xreal [index2] - wimag [t] * ximag [index2];
                 timag = wreal [t] * ximag [index2] + wimag [t] * xreal [index2];
                 ureal = xreal [index1];
                 uimag = ximag [index1];
                 xreal [index1] = ureal + treal;
                 ximag [index1] = uimag + timag;
                 xreal [index2] = ureal - treal;
                 ximag [index2] = uimag - timag;
    }
   }
}

     for (j=0; j < n; j ++)
{
         xreal [j] /= n;
         ximag [j] /= n;
}
}

void FFT_test ()
{
     char inputfile [] = "input.txt";     // 从文件 input.txt 中读入原始数据
     char outputfile [] = "output.txt";     // 将结果输出到文件 output.txt 中
     float xreal [N] = {}, ximag [N] = {};
     int n, i;
     FILE *input, *output;

     if (!(input = fopen (inputfile, "r")))
{
         printf ("Cannot open file. ");
         exit (1);
}
     if (!(output = fopen (outputfile, "w")))
{
         printf ("Cannot open file. ");
         exit (1);
}

     i = 0;
     while ((fscanf (input, "%f%f", xreal + i, ximag + i)) != EOF)
{
         i ++;
}
     n = i;     // 要求 n 为 2 的整数幂
     while (i > 1)
{
         if (i % 2)
   {
             fprintf (output, "%d is not a power of 2! ", n);
             exit (1);
   }
         i /= 2;
}

     FFT (xreal, ximag, n);
     fprintf (output, "FFT:     i      real imag ");
     for (i = 0; i < n; i ++)
{
         fprintf (output, "%4d     %8.4f     %8.4f ", i, xreal [i], ximag [i]);
}
     fprintf (output, "================================= ");

     IFFT (xreal, ximag, n);
     fprintf (output, "IFFT:     i      real imag ");
     for (i = 0; i < n; i ++)
{
         fprintf (output, "%4d     %8.4f     %8.4f ", i, xreal [i], ximag [i]);
}

     if ( fclose (input))
{
         printf ("File close error. ");
         exit (1);
}
     if ( fclose (output))
{
         printf ("File close error. ");
         exit (1);
}
}

int main ()
{
     FFT_test ();

     return 0;
}


// sample: input.txt


     0.5751          0
     0.4514          0
     0.0439          0
     0.0272          0
     0.3127          0
     0.0129          0
     0.3840          0
     0.6831          0
     0.0928          0
     0.0353          0
     0.6124          0
     0.6085          0
     0.0158          0
     0.0164          0
     0.1901          0
     0.5869          0


// sample: output.txt

FFT:
    i            real          imag
    0       4.6485       0.0000
    1       0.0176       0.3122
    2       1.1114       0.0429
    3       1.6776      -0.1353
    4      -0.2340       1.3897
    5       0.3652      -1.2589
    6      -0.4325       0.2073
    7      -0.1312       0.3763
    8      -0.1949       0.0000
    9      -0.1312      -0.3763
   10      -0.4326      -0.2073
   11       0.3652       1.2589
   12      -0.2340      -1.3897
   13       1.6776       0.1353
   14       1.1113      -0.0429
   15       0.0176      -0.3122
=================================
IFFT:
    i            real          imag
    0       0.5751      -0.0000
    1       0.4514       0.0000
    2       0.0439      -0.0000
    3       0.0272      -0.0000
    4       0.3127      -0.0000
    5       0.0129      -0.0000
    6       0.3840      -0.0000
    7       0.6831       0.0000
    8       0.0928       0.0000
    9       0.0353      -0.0000
   10       0.6124       0.0000
   11       0.6085       0.0000
   12       0.0158       0.0000
   13       0.0164       0.0000
   14       0.1901       0.0000
   15       0.5869      -0.0000


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