每天一道算法题（2020.06.04）-正则匹配

题目描述

给你一个字符串 s 和一个字符规律 p，请你来实现一个支持 ‘.’ 和 ‘*’ 的正则表达式匹配。

‘.’ 匹配任意单个字符
‘*’ 匹配零个或多个前面的那一个元素

所谓匹配，是要涵盖 整个 字符串 s的，而不是部分字符串。

说明:
s 可能为空，且只包含从 a-z 的小写字母。
p 可能为空，且只包含从 a-z 的小写字母，以及字符 . 和 *。

示例 1:

输入:
s = “aa”
p = “a”
输出: false
解释: “a” 无法匹配 “aa” 整个字符串。

示例 2:

输入:
s = “aa”
p = “a*”
输出: true
解释: 因为 ‘*’ 代表可以匹配零个或多个前面的那一个元素, 在这里前面的元素就是 ‘a’。因此，字符串 “aa” 可被视为 ‘a’ 重复了一次。

示例 3:

输入:
s = “ab”
p = “.*”
输出: true
解释: “.*” 表示可匹配零个或多个（’*’）任意字符（’.’）。

示例 4:

输入:
s = “aab”
p = “c*a*b”
输出: true
解释: 因为 ‘*’ 表示零个或多个，这里 ‘c’ 为 0 个, ‘a’ 被重复一次。因此可以匹配字符串 “aab”。

示例 5:

输入:
s = “mississippi”
p = “mis*is*p*.”
输出: false

解题思路

动态规划求解，考虑两大要素：状态，转移方程。

状态
i 表示字符串s的长度，j表示字符规律 p的长度，那么有：
dp[i][j]表示某一长度为i的s与某一长度为j的字符规律p是否匹配。

转移方程
接下来需要考虑dp[i][j]有哪些呢？也就是说，可以由哪些子问题转移而来呢？这里相对来说情况比较多样，主要原因在于字符规则p可以取值为字符，以及 ‘.’ 和 ‘*’ 。

• 首先考虑最简单的情况，即p[j] = s[i] = 字母，那么 dp[i-1][j-1]的匹配情况与 dp[i][j]的一致，这个时候转移方程为：
  dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
  举个例子：假如dp[i][j]对应字符串“abc”以及字符规则“abc”,当字符串“abc”以及字符规则“abc”分别增加一位相同的字母d，即dp[i][j]对应字符串“abcd”以及字符规则“abcd”，前者是匹配的，那么后者也是匹配的。

• 第二种情况，假如 p[j] = ‘.’ ，由于 ‘.’ 可以替代任务字母，所以不管s[i]等于什么，都可以匹配上，因此转移方程同上：
  dp[i][j] = dp[i-1][j-1]

• 第三种情况，也是最复杂的情况，当 p[j] = ‘*’ ，这个时候应该分哪些情况考虑呢？
  首先回顾一下 ‘*’的含义： 匹配零个或多个前面的那一个元素，也就是说，重复0次或多次之前的元素。所以 ‘*’与 p[j-1] 的值相关。

  • 当s[i] ！= p[j-1]时， ‘*’表示重复0次，那么字符规则中的第j个以及第j-1个元素都可去除，只需要考虑长度为i的s与长度为j-2的字符规律p是否匹配即可，有：
    dp[i][j] = dp[i][j-2]

  • 当s[i] = p[j-1] 时，比如存在字符串“#b”以及字符规则“#b*”（注，#表示若干个前面的元素），由于’*'的多样性，这里存在多个子问题，也就是多种转移情况，并且只需要某一个子问题匹配成立，dp[i][j] 便匹配成立：

    • 首先，’*'取多个字符，假如字符串“#”以及字符规则“#b*”匹配，那么字符串“#b”以及字符规则“#b*”也一定匹配，因为 ‘*’可以匹配多加的b，因此子问题一为 dp[i-1][j]
    • 其次，’*'取1个字符，假如字符串“#b”以及字符规则“#b”匹配，那么字符串“#b”以及字符规则“#b*”也一定匹配，因为 ‘b*’可以表示b出现了一次，因此子问题二为 dp[i][j-1]
    • 最后，’*'取0个字符，假如字符串“#b”以及字符规则“#”匹配，那么字符串“#b”以及字符规则“#b*”也一定匹配，因为 ‘b*’可以表示b出现了零次，因此子问题三为 dp[i][j-2]

    综合上述三种情况， dp[i][j] = dp[i-1][j] or dp[i][j-1] or dp[i][j-2]

  • 而当 p[j-1] = ‘.’时，可以匹配任意字符，与上一种情况一样。

代码

class Solution:
    def is_match(self, s: str, p: str) -> bool:
        if not p: return not s
        if not s and len(p) == 1: return False 

        nrow = len(s) + 1
        ncol = len(p) + 1

        dp = [[False for c in range(ncol)] for r in range(nrow)]
        
        dp[0][0] = True
        dp[0][1] = False
        for c in range(2, ncol):
            j = c-1
            if p[j] == '*': dp[0][c] = dp[0][c-2]
        
        for r in range(1, nrow):
            i = r-1
            for c in range(1, ncol):
                j = c-1
                if s[i] == p[j] or p[j] == '.':
                    dp[r][c] = dp[r-1][c-1]
                elif p[j] == '*':
                    if p[j-1] == s[i] or p[j-1] == '.':
                        dp[r][c] = dp[r-1][c] or dp[r][c-2] or dp[r][c-1]
                    else:
                        dp[r][c] = dp[r][c-2]
                else:
                    dp[r][c] = False

        return dp[nrow-1][ncol-1]