计数原理

计数原理

加法计数原理（类类相加）

完成某件事件，共有n类办法
第一类m1，第二类m2，第三类m3，第n类mn；
总数N=m1+m2+……+mn；

乘法计数原理（步步相乘）

完成某件事件，分成n步，第一步m1,第二步m2，第n步mn；
总数N=m1m2……*mn；
注意：①，分n步完成，当且仅当n步都完成时，此事件才完成，任意少一步，该事件不能完成。
②，每一步的方法数由加法原理得出。

排列组合

1，排列

排列数公式：
注意： ①，m<=n
②，全排列时，m=n
③，排列中无重复元素
④定序公式如下
全：
选：

2，组合

从n个不同元素中选r个元素合成一组
组合数公式

性质1： 
性质2：C_n^r=C_(n-1)^n+C_(n-1)^(r-1)
性质3：C_n^0+c_n^1+c_n^2+⋯+c_n^n=2^n

注意：①，在①公式中r<=n
，①公式变形后可得出排列数与组合数关系

ps：注明：以上均为同学冯（无限酱油帝）所打

证明: 性质1： 公式代入 / 概念理解： 每次选n 个的时候都对应唯一的一个大小为 n-1 的组合
性质2 ： 公式代入 / 想：

典型

1. 相邻问题： 捆绑法 （1先全排列 ， 2再排相邻的）
2. 不相邻问题： 插空法
3. 相同元素排序/ 顺序一定排序 问题： 全排列后用除法 或者看成直选不排的组合
4. 分排问题 ： 直排考虑（分几排坐座位，并成一排考虑，全排列）
5. 淘汰法（排除）： 如果出现至多至少的问题，分类比较复杂，多用排除法，即求它的对立面，再减
6. 特殊元素（特殊位置）法：
7. x, y, z 正整数 满足：x + y + z == 10 ,问有多少种（基础模型）
   插板法: 在总数中（想像成小球）插入n个 板子（此处为2） 求组合数 （注意可以插的位置数，此处为10 – 1）
   变式：x, y, z >= 0 x‘ = x + 1 >= 1 …. X’+ y’+z’= 13
8. 虫子走路求最短路的条数 ○1可以看成3 ○2 可以看做
9. 错位排序： 部分错位 排列： n 本书重新排列，使得其中m本（m <= n） 书不在它原来的位置，问部分（错位）重排的方案数
10. 环排列 ：剪开环后，按照一个固定的标准(n 个数的环排列，从每n个 空剪开环，都逆时针看)，能够得到n种直排，所以只需要求它的直排的方案数，除以n即为环排列数