完全重建QMF滤波器

任务一

.输入一个脉冲在前和一个脉冲在后的波形，找出其傅里叶变换后的区别

clear;

s1=zeros(1,100);
s1(1:20)=1;%设置一个冲击在前的信号
subplot(231);
stem(s1);
title('original signal 1');
subplot(232);
stem(abs(fft(s1)));%幅度谱
title('magnitude spectrum');
subplot(233);
stem(angle(fft(s1)));%相位谱
title('phase spectrum');

s2=zeros(1,100);
s2(80:100)=1;%一个冲击在后的信号
subplot(234);
stem(s2);
title('original signal 2');
subplot(235);
stem(abs(fft(s2)));%幅度谱
title('magnitude spectrum');
subplot(236);
stem(angle(fft(s2)));%相位谱
title('phase spectrum');

可以看出，两个信号的幅度谱并没有什么区别，但是相位谱的差别就很大了

任务二

一个两通道正交镜像滤波器组如图所示，在分析滤波器组一侧，输入信号（设为宽带信号）被分成K个子频带信号（窄带信号），通过抽取可降低采样率；在综合滤波器一侧，通过零值内插和带通滤波可以重建原来的信号。

对于一个给定的信号，经过分析滤波器后，再进行抽取、编码、传输，可以通过零值内插、综合滤波器滤波、求和运算得到恢复和重建。但是重建后的信号并不能与原始信号完全相同，两者之间存在着误差，主要包括：混叠失真，相位失真，量化失真和幅度失真。这里把一个信号变成两个子信号在一定程度上可以减小量化失真；而为了消除混叠失真，采用如下办法，令G0（z）=H0(z)，G1(z)=-H1（z）
当两通道无混叠滤波器组的分解滤波器满足：H1(z)=H0（-z）时，该滤波器组为正交镜像滤波器组
那么有G0（z）=H0(z），G1(z)=-H1（z）=-H0（-z）
如果 H0是一个低通滤波器， 则H1，G0，G1分别是高通、低通、高通滤波器。
代码如下

N=41;
w=0.43;
[h0,h1,g0,g1]=firpr2chfb(N,w);
[H1z,w]=freqz(h0,1,512);
H1_abs=abs(H1z);H1_db=20*log10(H1_abs);
[H2z,w]=freqz(h1,1,512);
H2_abs=abs(H2z);H2_db=20*log10(H2_abs);
%%%%%%%%%%滤波器h0和h1的幅度响应%%%%%%%%%%
figure(1); 
plot(w/pi,H1_db,'-',w/pi,H2_db,'--'); 
axis([0,1,-100,10]); 
grid 
xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度,dB'); 
sum1=H1_abs.*H1_abs+H2_abs.*H2_abs; 
d=10*log10(sum1);
%%%%%%%%%%%%幅度响应关系误差%%%%%%%%%%%%%
figure(2) 
plot(w/pi,d);grid; 
xlabel('\omega/\pi');ylabel('误差,dB'); 
axis([0,1,-0.04,0.04]); 
%%%%%%%%%%%%%x1(n)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x=zeros(1,500);
x(2)=1;x(3)=1;
x(6)=2;x(7)=2;x(8)=2;
x(17)=1.5;x(18)=1.5;x(19)=1.5;
x(24)=1;x(25)=1;
x(33)=3;x(34)=3;x(35)=3;
%%%%%%%%%%%%%%x2(n)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x=zeros(1,500);
x(1)=1;x(2)=1;x(3)=1;
x(9)=2;x(10)=2;x(11)=2;
x(16)=3;x(17)=3;x(18)=3;
x(24)=4;x(25)=4;x(26)=4;
x(33)=3;x(34)=3;x(35)=3;
x(41)=2;x(42)=2;x(43)=2;
x(49)=1;x(50)=1;x(51)=1;
%%%%%%%%%%%%%%x3(n)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
n=1:500;
T=0.2;
x=sin(n*T);
hlp=mfilt.firdecim(2,h0);
hhp=mfilt.firdecim(2,h1);
glp=mfilt.firinterp(2,g0);
ghp=mfilt.firinterp(2,g1);
x0=filter(hlp,x);
x0=filter(glp,x0);
x1=filter(hhp,x);
x1=filter(ghp,x1);
xidle=x0+x1;
xshift=[zeros(1,N) x(1:end-N)];
e=xidle-xshift;
mes=sum(abs(e).^2)/length(e)
fvtool(h0)
%%%%%%%%%%%%输入信号%%%%%%%%%%%%%%%%%%
figure(4);
plot(x);
%%%%%%%%%%理想输出信号与重建输出信号%%%%%%%
figure(5);
axis([0,500,-1,1]); 
plot(xshift,'r');hold on;
plot(xidle,'-');
axis([0,600,-1.1,1.1]);
%%%%%%%理想输出信号与重建输出信号的偏差%%%%%%
理想输出信号与重建的输出信号的偏差
figure(6);
plot(xshift-xidle);

输出图像如下

上图是两个滤波器的幅度响应

上图为幅度响应关系误差图像，可以看出误差非常少

上图为h0的幅度响应

上图这是输入信号

上图为理想输出信号（红）和重建（蓝）的输出信号，可以看出基本没什么差别

下面是恢复信号和原信号的误差图像

可以看出误差的大小都是10^-4数量级的，非常非常小了