完全重建QMF滤波器组

两通道正交镜像滤波器组理论

一个两通道正交镜像滤波器组如图1所示，在分析滤波器组一侧，输入信号（设为宽带信号）被分成K个子频带信号（窄带信号），通过抽取可降低采样率；在综合滤波器一侧，通过零值内插和带通滤波可以重建原来的信号。

如果综合滤波器组最后输出的信号 与分析滤波器组原来输入的信号 有如下关系：

对应的频域关系：

对于一个给定的信号，经过分析滤波器后，再进行抽取、编码、传输，可以通过零值内插、综合滤波器滤波、求和运算得到恢复和重建。但是重建后的信号并不能与原始信号完全相同，两者之间存在着误差，主要包括：
（1）混叠失真。由抽取和内插产生的混叠和镜像带来的误差，导致分析滤波器组和综合滤波器组的频带不能完全分开；
（2）幅度失真。由于分析和综合滤波器组的频带在通带内不是全通函数，其幅频特性波纹产生的误差；
（3）相位失真。由滤波器相频特性的非线性所产生的误差；
（4）量化失真。由编、解码产生的误差，与量化噪声相似，这类误差无法完全消除，只能设法减小。

因此，在设计QMF组时，就需要综合考虑如何减小和消除上述的各类误差。消除混叠失真一种简单形式采取：

当两通道无混叠滤波器组的分解滤波器满足：

时，该滤波器组为正交镜像滤波器组（quadrature mirror filter bank，QMFB）。且滤波器的幅度特性满足

由以上几式推出：

完全重建QMFB遇到的问题和解决办法

在完全重建QMFB过程中，希望设计的滤波器通带尽量平、过渡带尽量窄，且阻带尽可能快速衰减。但是由假设得到的 和 不能满足这些要求，因此它们没有实用的意义。可以看出，在式 指定分析滤波器组的条件下想要做到既无混叠失真又无幅度失真是不可行的，也就是做不到QMFB的完全重建。实际上，尽管PR是目的，但是滤波器组的核心作用是子带分解。在QMFB设计过程中，希望 和 能把输入信号分成两个子带信号，且频谱尽量不重叠，这就使得对 和 的通带和阻带性能要求较高。
解决办法：
（1）用FIR QMF滤波器组，去除相位失真的前提下，尽可能的减小幅度失真，近似实现完全重建；
（2）用IIR QMF滤波器组，去除幅度失真，不考虑相位失真，近似实现完全重建；
（3）修正QMF滤波器 的关系，去考虑更合理的形式，从而实现完全重建。

完全重建滤波器的仿真

首先，确定N值，这一步中需要先选定一个合适的w值，而后在不同输入信号的前提下，不断改变N值，并求出此时所对应的MSE，从而比较得出最合适的N值
进而确定w值，这一步和上一步很相似，只是此时我们假定N是已知，w是要求的，同样是比较MSE即可求出最合适的w值
通过以上两步骤的计算，文献中给出了N的最佳值为41，w的最佳值为0.43，从而便可以根据这个来设置滤波器了。
我们可以得到如下结果：


图一中所输出的波形为滤波器H0和滤波器H1的幅度响应
图二中输出的图片则是两者的幅度响应的差值。
而后matlab的代码继续给出了三个输入信号x1，x2，x3的赋值过程，在给出三个输入信号之后，我们对其进行上文中所提到的相关运算，即实现完全重建滤波器的相关计算操作，从而，我们在此之中，亦可以求得滤波器h0的频率响应

以下两图片对比了源信号和恢复信号的波形：

以下为两个信号的差值：

可以看到，误差在10^-4数量级