数据结构和算法躬行记（5）——回溯算法

　　回溯算法（backtracking）是一个类似枚举的搜索尝试过程，在寻找问题解的过程中，当发现不满足求解条件时，就退回一步，尝试其它路径，该算法的时间复杂度都不会低于 O(N!)，复杂的例题包括正则表达式匹配、解数独等。

　　在《回溯算法详解》一文中提到，解决一个回溯问题，实际上就是一个决策树的遍历过程，需要思考三个问题：

　　（1）路径：已经做出的选择。

　　（2）选择列表：当前可以做的选择。

　　（3）结束条件：到达决策树底层，无法再做选择的条件。

　　下面是改编过的算法通用结构。

function backtrack(路径, 选择列表):
    if 满足结束条件
        console.log(路径)
        return
    for 选择 of 选择列表
        做选择
        backtrack(路径, 选择列表)
        撤销选择

　　面试题12 矩阵路径和面试题13 机器人运动范围。在二维方格或矩阵的运动可用回溯法解决。

一、N皇后

　　N皇后是一道经典的回溯算法题，将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，使皇后彼此之间不能相互攻击，即每个棋子所在的行、列、对角线都不能有另一个棋子。

　　在下面的示例中，N是皇后的数量，backtrack()函数是回溯过程（如下所列），isValid()函数判断是否符合选中条件。

　　（1）从第一个 row=0 开始。

　　（2）循环列并且试图在每个 column 中放置皇后。

　　（3）如果方格 (row, column) 在攻击范围内，那么跳过。

　　（4）在 (row, column) 方格上放置皇后，继续寻找下一个位置。

　　（5）判断 row 是否和皇后数量相同。

const N = 4;
function backtrack(route, row) {
  if (row == N) {                //结束条件
    console.log(route);
    return;
  }
  for (let column = 0; column < N; column++) {
    if (!isValid(route, row, column))
      continue;
    route[row] = column;        //做选择
    backtrack(route, row + 1);  //下一步
    route[row] = null;          //撤销选择（可省略）
  }
}

//从下往上 判断row行column列放置是否合适
function isValid(route, row, column) {
  let leftup = column - 1,
    rightup = column + 1;
  for (let i = row - 1; i >= 0; i--) {        // 逐行往上考察每一行
    if (route[i] == column)                   // 第i行的column列有棋子
      return false;     
    if (leftup >= 0) {            
      if (route[i] == leftup)                 // 考察左上对角线：第i行leftup列有棋子
        return false;
    }
    if (rightup < N) {
      if (route[i] == rightup)                // 考察右上对角线：第i行rightup列有棋子
        return false;
    }
    leftup--;
    rightup++;
  }
  return true;
}

二、0-1背包

　　有一个背包，背包总的承载重量是 Wkg。现在有 n 个物品，假设每个物品的重量都不相等，并且不可分割。期望选择几件物品，装载到背包中。在不超过背包容量的前提下，如何让背包中物品的总重量最大？

　　把物品依次排列，对于物品选择装或不装，然后递归余下的物品，如下所示。

let max = Number.MIN_VALUE,
    W = 100;
function backtrack(route, goods) {
  let weight = route.length ? route.reduce((acc, cur) => acc += cur) : 0;
  if (weight == W || route.length == goods.length) {    //结束条件
    if (weight > max && weight <= W) {
      max = weight;
    }
    console.log(route);
    return;
  }
  for (let i = 0; i < goods.length; i++) {
    if(weight + goods[i] > W || route.indexOf(goods[i]) > -1)
      continue;
    route.push(goods[i]);            //做选择
    backtrack(route, goods);
    route.pop();                     //撤销选择
  }
}

三、全排列

　　全排列是指输出给定数字序列的全部可能的排列，假设序列中的数字都是唯一的，利用回溯算法枚举出所有排列，如下所示。

function backtrack(route, nums) {
  if (route.length == nums.length) {        //结束条件
    console.log(route);
    return;
  }
  for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
    if (route.indexOf(nums[i]) > -1)
      continue;
    route.push(nums[i]);        //做选择
    backtrack(route, nums);
    route.pop();                //撤销选择
  }
}

　　面试题17 打印从 1~n 位的数。将问题转换成数字排列，用递归实现。