色散时域补偿算法——TSM算法(时域离散采样方法)

我的文章和你正看的资料有出入

建议，以我为准(☆▽☆)

这部分内容，网络、书籍、论文有不少可查的资料。但是很多的公式胡乱写的，关键的文字介绍居然用错了专有名词。
重新推导了一遍公式，用人话重述了内容。如果对你有帮助，一键三连呦~

色散补偿按照是否与偏振有关分为两部分，色度色散的补偿在第一部分，称这部分为静态均衡(均衡和补偿是同义词)。

所谓静态就是对于速率一定的光信号，不论调制格式如何，只要光纤长度一定，色散就一定。

色散(本篇专指与偏振无关的色散)对信号包络的影响可以表示成一个偏微分方程$$\frac{\partial U(z,\tau )}{\partial z}=j\frac{D{\lambda }^2}{4\pi c}\cdot \frac{\partial U(z,\tau )}{\partial {\tau }^2}$$求解得频域传输方程$$G(z,w)=e^{\frac{D{\lambda }^{2}z}{j4\pi c}{\omega }^2}$$
时域冲击响应$$g(z,t)=\sqrt{\frac{c}{jD{\lambda }^{2}z}}{e}^{\frac{j\pi c}{D{\lambda }^{2}z}{t}^2}$$
如此便将色散对信号的影响抽象成了信号通过系统的过程。

对于时域均衡算法来说，只需要将色散时域冲击响应中的色散系数D取反，就能得到色散时域补偿滤波器的脉冲响应，即$$g(z,t)=\sqrt{\frac{jc}{D{\lambda }^{2}z}}{e}^{\frac{\pi c}{jD{\lambda }^{2}z}{t}^2}$$我们写程序的时候，肯定要把这个连续的脉冲响应，改写成离散的点，即对其进行采样。但是由于此脉冲响应是无线非因果的，采样会导致频率的混叠。 所以要把他截断为有限长度，来克服频率混叠的现象。

假设我们对此脉冲响应的采样时间间隔是$T$，那么采样频率为$f_s=1/T$，奈奎斯特频率${\omega }_n=2\pi f_s/2=\pi /T$。如果截断后此均衡系统的频谱超过${\omega }_n$，就说明${\omega }_n$不够大，也就是我们的采样间隔$T$不够密集。

对信号截断等价于时域乘一个矩形窗，频域即卷积sinc函数，矩形窗越宽，卷积的sinc函数就越窄。所以也可以通过增加截断长度的方式使得均衡系统的频谱宽度降低，低于${\omega }_n$，也能解决频谱混叠的问题。

脉冲响应的角频率$$\omega =\frac{\partial \phi (t)}{\partial t}=\frac{2\pi c}{D{\lambda }^{2}z}t$$上面求得为瞬时频率，只需要是瞬时频率的所有瞬时值都满足$|\omega |<{\omega }_n$，就能保证均衡系统的频谱都在${\omega }_n$的范围内。

为了保证$|\omega |<{\omega }_n$，就求得了时间t的范围$$-\frac{|D|{\lambda }^{2}z}{2cT}⩽t⩽\frac{|D|{\lambda }^{2}z}{2cT}$$如此一来时间上的截断工作就做好了，只要$g(z,t)$在这个时间范围内截断，就不会造成频谱混叠(当然比这个范围更大也没问题)。

下面就要对$g(z,t)$采样了(采用非递归结构抽头延迟FIR滤波器实现)

滤波器的参数如下

1. 采样点(滤波器抽头)的个数$$N=2\lfloor \frac{|D|{\lambda }^{2}z}{2c{T}^2}\rfloor +1$$采用这种形式的表达式是为了保证，截取的$g(z,t)$的整数长度$NT$不小于刚才求得的最小截断长度。
2. 第K个采样点的取值$a_k$。其中$-\lfloor \frac{N}{2}\rfloor ⩽k⩽\lfloor \frac{N}{2}\rfloor$ 将kT带入$g(z,t)$就得到了$a_k$的取值$$a_k=T\sqrt{\frac{jc}{D{\lambda }^{2}z}}{e}^{\frac{\pi c}{jD{\lambda }^{2}z}{k}^2{T}^2}$$为什么前面多了T?信号通过系统是$x(t)\ast g(z,t)$
   有一个相乘再积分的过程。现在你把$g(z,t)$变成一组点了，积分是不是得乘个T呢？思考一下~

以上就是色散时域补偿，TSM算法的全部内容了。

这种算法可以看作是对色散脉冲响应的离散采样，故被称为时域离散采样。他在信号处理过程中添加了一个全通性质的色散补偿滤波器，但这种方法没有考虑噪声的影响，所以还有其它更优秀的算法~下次再唠啦。

你想要代码？下次一定，下次一定。

三连都没有，怎么会有代码……