火车站 题解

题目传送门

题目背景

有一个奇奇怪怪的火车站，奇奇怪怪的站长JTZ想要解决一个奇奇怪怪的问题。

题目描述

现在有 $N$ 列火车要进出站，对于同一列车进站和出站有且只有一次鸣笛，笛声有 $1-M$ 种音调，要求相邻的两次鸣笛之间音调的差的绝对值不能小于 $K$ （不鸣笛笛声音调看作$1e100$ ）。不然耳朵不好的车站管理员XYH分不清楚是哪一列车，现在XYH给出了每一列火车的进出，JTZ想知道总共有多少种鸣笛的方案，而他又不想太麻烦，所以只需要方案数除以 $43621789$ 的余数。
某中学八年级大佬RSJ知道了这个消息后，觉得太简单了，几下算出了结果 $x$ （取余数后）。于是他想让你算出 $M^x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}43621789$ 。

输入格式

第一行三个整数 $N,M,K$ 。
第二行有 $2N$ 个整数，每个整数是 $0$ 或 $1$ 代表车进站和出站，保证数据合法，也就是说当车站没有车的时候没有车出站，最后车站没有车。

输出格式

一行，表示答案。( $M^x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}43621789$ )

输入输出样例

输入#1

2 1 0
0 0 1 1

输出#1

1

输入#2

3 5 2
0 0 0 1 1 1

输出#2

40308287

提示/说明

图非常重要

样例解释：

样例1： $x=4,M=1$ 答案为 $1^4\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}43621789=1$
样例2： $x=250,M=5$ 答案为 $5^{250}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}43621789=40308287$

数据范围

本题采用 Subtask
$\text{Subtask}1$: 测试点 $1-5$ $30\%$ $N\le 3,M\le 7$
$\text{Subtask}2$: 测试点 $6-12$ $40\%$ $N\le 100，M\le 7$
$\text{Subtask}3$: 测试点 $13-20$ $40\%$ $N\le 500,M\le 7$
你只有通过每个 $\text{Subtask}$ 的所有测试点才能获得该 $\text{Subtask}$ 的分值。

---

题目解析

这道题目的出题灵感来自于CF149D。我们只要把火车进站看成左括号，火车出站看成右括号。其实应该是栈。
排列与组合是行不通的，因为对于同一列车进站和出站有且只有一次鸣笛，由于没有要求输出步骤，又可以搜索，考虑DP。无疑是区间DP，因为对于鸣笛的音调会影响到其他的方案数量，那么需要将左右侧的鸣笛音调列入方程转移式。
令函数 $f(i,j,x,y)$ 为区间 $[i,j]$ 中，左右端点中，左端点的鸣笛音调为 $x$ ，右端点的鸣笛音调为 $y$ 的种数。不鸣笛记为 $0$ 。分两种情况考虑。
我们需要预处理出辆火车的进出站，存在数组里，要求能 $\Theta (1)$ 查询。
情况一：第 $i$ $j$ 次进出站时相同的车。
那么我们需要枚举 $i,j$ 的音调以及相邻的 $i+1,j-1$ 的音调，并且要保证数据合法。
$$f(i,j,x,y)=\sum f(i+1,j-1,a,b)$$
其中 $|a-x|\ge k$ 或者 $x=0,a\ne 0$ 或者 $x\ne 0,a=0$
并且 $|b-y|\ge k$ 或者 $b=0,y\ne 0$ 或者 $b\ne 0,y=0$
并且 $x=0,y\ne 0$ 或者 $x\ne 0,y\ne 0$

情况二：第 $i$ $j$ 次进出站时不是相同的车。
设第 $i$ 辆车的出站为 $mid$ ，那么就可以将区间 $[i,j]$ 分割成区间 $[i,mid],[mid+1,j]$ ，然后枚举四个端点音调的即可，也要保证数据合法。
$$f(i,j,x,y)=\sum f(i,mid,x,a)\times f(mid+1,b,y)$$
其中 $|a-b|\ge x$ 或者 $a=0,b\ne 0$ 或者 $a\ne 0,b=0$
并且 $x=0,a\ne 0$ 且 $x\ne 0,a=0$ （因为 $x,a$ 同一辆车）

最后注意一些细节就可以了。
算法复杂度是 $\Theta \left(N^2{M}^4+N\right)$ 的，虽然可以优化成 $\Theta \left(N^2{M}^3+N\right)$ 但是因为我懒所以我就不写了。

最后记得输出 $M^x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}43621789$ ，记得加上快速幂和 long long。