伽罗华域运算及C语言实现

伽罗华域（Galois Field）简介

在数学中，有限域（或称伽罗华域）是一个包含有限元素的域。与其他域一样，有限域是进行加减乘除运算都有定义并且满足特定规则的集合。其中加法和乘法必须满足交换、结合和分配的规律。加法和乘法具有封闭性，即加法和乘法结果仍然是域中的元素。

伽罗华域一般用$GF(2^M)$表示，这个域中含有$2^M$个元素。$GF(2^M)$上的四则运算是基于多项式运算的，上过学的应该都知道什么是多项式，一般都是这种结构$f(x)=x^6+x^4+x^2+x+1$ 。

本原多项式 （primitive polynomial）是一种特殊的不可约多项式。当一个域上的本原多项式确定了，这个域上的运算也就确定了。本原多项式一般通过查表得知，同一个域往往有多个本原多项式。

$GF(2^M)$域，当M=8时，其中比较常见的一个本原多项式为$P(x)=x^8+x^4+x^3+x^2+1$。$GF(2^8)$域也是计算机领域用的比较多的一种域，因为一字节等于8比特嘛。研究这个玩意也是因为AES加密中列混合变换中用到了伽罗华域运算，但是 AES加解密算法中，使用的不可约多项式（irreducible
polynomial）为$P(x)=x^8+x^4+x^3+x+1$，所以下面主要讨论AES算法中用到的$GF(2^8)$域，多项式为$P(x)=x^8+x^4+x^3+x+1$乘法的实现。

运算规则

加法

在伽罗华域中，加法是模2运算，也就是忽略进位的加法，等同于计算机中的XOR异或，即 1^1=0, 1^0=1, 0^0=0。

乘法

伽罗华域中的乘法是基于多项式运算的，比如：$5=00000101b=(2^2+1)$，对应多项式为 $(x^2+1)$。

举例：

• $3\ast 7=(x+1)(x^2+x+1)=x^3+x^2+x+x^2+x+1=x^3+(x^2+x^2)+(x+x)+1=x^3+1$
  (模2加法中相同项相加为0)。

在相乘得到的多项式结果中，如果x的次数大于7，就需要对多项式在GF(2)上关于本原多项式P(x)求余数，即$modP(x)$。
因为加法为模2加法，相同项相加为0，所以减法可以当成加法来计算。

基于多项式$P(x)=x^8+x^4+x^3+x^2+1$:

• $129\ast 5=(x^7+1)\ast (x^2+1)=(x^9+x^7+x^2+1)$
  $=(x^9+x^7+x^2+1)+(x\ast P(x))=(x^9+x^7+x^2+1)+(x^9+x^5+x^4+x^3+x)$
  $=x^7+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=10111111\text{b}=\text{0xBF}=191$

基于多项式$P(x)=x^8+x^4+x^3+x+1$:

• $129\ast 5=(x^7+1)\ast (x^2+1)=(x^9+x^7+x^2+1)$
  $=(x^9+x^7+x^2+1)+(x\ast P(x))=(x^9+x^7+x^2+1)+(x^9+x^5+x^4+x^2+x)$
  $=x^7+x^5+x^4+x+1=10110011\text{b}=\text{0xB3}=179$

代码实现

推导

因为在AES算法列混合环节中用到了伽罗华域乘法，所以接下来的代码实现使用AES算法指定的不可约多项式$P(x)=x^8+x^4+x^3+x+1$进行分析。

GMul(2, v)

为了方便编程我们先找找规律，假设函数GMul(u, v)表示伽罗华域乘法，先看与2相乘的伽罗华域计算，即GMul(2, v)，v、u不分左右：

• $2\ast 7=(x)\ast (x^2+x+1)=x^3+x^2+x$（可以看出伽罗华域中一个数与2相乘等于这个数左移一位）

看上式，假如v对应的多项式x的次数大于7，即v的最高位为1，也就是v>>7 == 1的话就进行 $modP(x)$ 化简，比如：

• $2\ast 129=x\ast (x^7+1)=x^8+x=(x^8+x)+P(x)$
  $=(x^8+x)+(x^8+x^4+x^3+x+1)=x^4+x^3+1$
  $=00011001=\text{0x19}=00000010\wedge 00011011=\text{0x02}\wedge \text{0x1B}=(129<<1)\wedge \text{0x1B}$

• $2\ast 176=x\ast (x^7+x^5+x^4)=x^8+x^6+x^5=(x^8+x^6+x^5)+P(x)$
  $=(x^8+x^6+x^5)+(x^8+x^4+x^3+x+1)=x^6+x^5+x^4+x^3+x+1$
  $=01111011=\text{0x7B}=0110,0000\wedge 0001,1011=\text{0x60}\wedge \text{0x1B}=(176<<1)\wedge \text{0x1B}$

从上面的3个例子可以总结一个规律：
$$GMul(2,v)=\{\begin{array}{ll}v<<1,& \text{if (v>>7) is 0x00}.\\ (v<<1)\wedge \text{0x1B},& \text{if (v>>7) is 0x01}.\end{array}$$

GMul(3, v)

$3\ast v=(2+1)\ast v=GMul(2,v)+v$= GMul(2, v) ^ v

GMul(4, v)

$4\ast v=2\ast 2\ast v$= GMul(2, GMul(2, v))

GMul(7, v)

$7\ast v=00000111=(2\ast 2+2+1)$= GMul(2, GMul(2, v)) ^ GMul(2, v) ^ v

GMul(8, v)

$8\ast v=(2\ast 2\ast 2)\ast v$=GMul(2, GMul(2, GMul(2, v)))
8=2^3，循环3次GMul(2,v)

GMul(11111111b, v)

$11111111b=2^7+2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2+1$
所以相当于：GMul(2,v)循环7次 ^ GMul(2,v)循环6次 … GMul(2,v)循环1次 ^ v

代码实现

GMul(2, v)

根据上面总结的公式可以很容易用代码实现GMul(2, v)

uint8_t GMul2(uint8_t v){
     
    int flag = (v & 0x80);
    v <<= 1;
    if (flag) {
     
        v ^= 0x1B; /* P(x) = x^8 + x^4 + x^3 + x + 1 */
    }
    return v;
}

GMul(u, v)

根据上述对GMul(u, v)的总结，可以用一下代码实现：

uint8_t GMul(uint8_t u, uint8_t v) {
     
    uint8_t p = 0;

    for (int i = 0; i < 8; ++i) {
     
        if (u & 0x01) {
     
            p ^= v;
        }

        v = GMul2(v); //调用GMul(2，v)

        u >>= 1;
    }

    return p;
}

为了代码整洁可以写成一个通用的函数，AES算法实现中列混合环节可以直接调用下面的函数：

uint8_t GMul(uint8_t u, uint8_t v) {
     
    uint8_t p = 0;

    for (int i = 0; i < 8; ++i) {
     
        if (u & 0x01) {
     
            p ^= v;
        }

        int flag = (v & 0x80);
        v <<= 1;
        if (flag) {
     
            v ^= 0x1B;  /* P(x) = x^8 + x^4 + x^3 + x + 1 */
        }

        u >>= 1;
    }

    return p;
}

参考

1. CSDN博客 伽罗华域（Galois Field）上的四则运算
2. AES算法标准 Federal Information Processing Standards Publication 197 ADVANCED ENCRYPTION STANDARD (AES)
3. 代码参考 Libtom AES code