线性回归损失函数构造：极大似然法和贝叶斯估计的视角

线性回归基础方法：最小二乘

对于线性回归模型$Y=X\beta +u$，为了求出系数矩阵$\beta$，线性最小二乘法说要构造一个函数描述y的预测值和真值之间的差异，由于种种原因，希望能最小化残差平方和，就给出一个函数$f(\beta )=\sum (Y-X\beta {)}^2$，取能最小化该函数的$\beta$即可。然后，为了得到$\hat{\beta }$的无偏、一致等性质，又施加了高斯马尔可夫假设。
因此，在推导参数估计量表达式$\hat{\beta }=(X^{T}X{)}^{-1}(X^{T}Y)$的过程中，并没有用到高斯马尔可夫假设的任何一条，对于Y（或误差项）的概率分布也没有任何假设。
而只有在推导估计量无偏性和一致性的过程中，才会用到诸如线性模型、X的随机性、X有变异、误差零条件均值、同方差性、不存在完全共线性的假设；只有在需要对参数进行假设检验时，才会用到概率论的思想，认为Y的观测值是其整体的一个样本，且其整体服从某个概率分布。令Y（或误差项）服从正态分布，可以更方便对估计量进行假设检验、置信区间估计。当然，在大样本情况下，Y不需要服从正态分布也可以对其假设检验（估计量渐进性）。
这里有一点疑问，就是为什么要构造$\sum (Y-\beta X{)}^2$这样的形式衡量差异。在机器学习中，一般会称这样衡量预测值和真实值差异的函数为损失函数（loss function）。最小二乘法的教材中会说，相比于残差的其他幂次来说，取平方时候，参数估计量更容易求出，且其统计性质容易推导。这样的损失函数也是"ordinary least square"方法得名的原因。

极大似然法估计

估计思想

引入概率论的思想进行参数估计。极大似然估计认为模型参数$\beta$是一个确定的值，但$y_i,y_2,...,y_n$是从整体中抽取的一个随机样本，应当服从某个以$\beta$为参数的概率分布$f(y_1,y_2,...,y_n|\beta )$。这里涉及极大似然原理，即令现有观测情况发生概率最大的参数最有可能是真实参数。这个原理更多是基于经验直觉，目前没有找到与其直接相关的严谨数学推导。
可以类比抛硬币。如果事先不知道这枚硬币两面质量谁大谁小，现在做实验，抛100次硬币，硬币抛n次某面向上的概率服从多重伯努利分布，参数为p，且每次抛硬币事件独立，则$f(y_1,y_2,...,y_{100}|p)={\prod }_{i=1}^{100}f(y_i|p)$，为了方便计算，对该式取对数，则成为对数似然函数$log({\sum }_{i=1}^{100}f(y_i|p))$，则最大化这样一个分布函数，对p求一阶导，可以证明要取的参数p可以就是频率n/100。
从这个例子中，也可以看出极大似然估计的合理性。大数定理证明了，当一个随机试验在相同试验条件下重复很多次后，其各事件出现的频率近似于其概率。因此，在上述例子中，当n$\to \infty$，$\hat{p}=k/n$一定近似于其真值。因此，这样的估计量具有渐进性，是一个好的估计量。

线性回归中应用

用极大似然估计，若要写出极大似然函数，就要先知道Y的概率函数，也就是需要先假设y服从某个概率分布。这是和最小二乘法差别较大的一个点。对于连续变量，一般假设y服从正态分布。
现建立模型$y=wx+ϵ$，假设$p(y|w,x)\sim N(wx,{ϵ}^2)$，
则有如下推导过程（摘自清华计算机系王鑫老师课件）：

可以看出，极大似然法推导出来的要最小化的函数，正是最小二乘法直接构造出来的损失函数。因此，估计量的表达式相同。

贝叶斯估计

估计思想

还是以抛硬币估计出现某面概率p为例。之前举例是抛100次硬币，但在小样本中，可能出现某个样本和总体分布差别较大的情况，这时频率和概率的差别也就较大，也就是说，这样估计的结果容易受小样本极端分布的干扰，出现有悖常理的结果。如，抛了10次硬币，即使双面质量相同，也有$\frac{10}{2^{10}}$的概率出现9次正面，而这种情况一旦出现，得出结论$p=\frac{9}{10}$和真正的概率相差太远。因此，我们需要一个先验概率，对试验得到频率进行校正。在本例中，先验概率就是正/反面出现的P=0.5。
事实上，是否需要用先验概率对试验概率进行校正，正是频率学派和贝叶斯学派的一个重要分歧。

贝叶斯公式

首先给出一个应用情境：以抛硬币为例，定义客观上硬币正面/反面向上为事件A，抛硬币试验结果（正面还是反面向上）为事件B（是一系列可能结果$B_1,B_2...B_n$的集合）。已知一个先验概率：在不知道试验结果的情况下，判断硬币正反面质量相同，即P(A）=0.5。同时知道，试验结果B服从参数为p(A)的多重伯努利分布，即P(B|A)已知。现在要求在已知试验结果条件下，硬币正反面向上的概率，即P(A|B)。因此，要将这个条件概率用所有已知条件表示
首先用条件概率公式：
$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$，再对右侧分母用条件概率
$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$
极大似然法的思路，就是取p(A)，使P(B|A)最大，因此，P(B|A)就是一个极大似然函数。由于P(B)和所要求对参数无关，给定Y之后，P(B)即为一个常数，因此，上式还可以写成：
$P(A|B)\propto P(B|A)P(A)$
即为极大似然函数*先验概率。同时注意在贝叶斯学派中，P(A)、P(A|B)不再是一个确定值，而服从某个概率分布。这也是频率和贝叶斯学派的重要分歧之一。频率学派认为，参数是一个确定值，只不过由于试验样本规模的限制，在参数估计上存在误差区间。

最大后验估计

极大似然的思路是取一个与A有关的参数，最大化试验结果概率分布值P(B|A)。在贝叶斯估计中，构造出来的函数是给定试验结果，参数服从的分布。延续类似思想，想取一个与A有关的参数，最大化参数概率分布值P(A|B）。（个人感觉为何要最大化P(A|B）在解释逻辑上还差了点，但目前还没找到更好的解释，若有同志有更好的理解欢迎在评论区交流）
可以看出，最大后验估计实际上是点估计，是简化后的结果。因为贝叶斯假设参数服从某个分布，而这样估计出的结果，参数仅为一个确定的值。因此，还有更复杂一些的方法，如选取一个初始的先验概率P(A)后，在每次试验后都用贝叶斯公式对这一概率进行迭代，其直观依据是，每次试验后，我们对事件A的概率认知都有了更新，在试验足够多次数后，这种认知基本会达到稳定状态。这样得到的最终结果即是A的一个概率分布函数$f(A|B)$。当然，这样的计算复杂度更高，速度更慢。
下面的工作是确定初始先验概率P(A)，一般来说，我们会对其选取一个“共轭先验”以简化计算。共轭这个概念可以理解成，当式子M乘以其共轭函数N时候，可以仍然得到一个和M结构相似的式子，这样不会因为要乘一个因式让式子变的过于复杂。因此要确定P(A)，要先确定P(B|A)分布。
可以证明，若M是一个高斯分布，其共轭先验也可以选取高斯分布；若M服从n重伯努利分布，其共轭先验可以选取beta(a,b)分布。

最大后验估计应用

线性回归

在线性回归中，和此前推导的贝叶斯有一些区别，此处涉及3个事件（w,x,y)，只要多用几次条件概率代换即可。具体推导过程如下（摘自清华计算机系王鑫老师课件）：

此时，p(w)设为高斯分布。可以看出，右侧两个高斯分布相乘，则可以直接用指数相加合并，求导只要令合并后的指数一阶导为0即可。

独立重复试验

再看多次掷硬币试验。由于每次试验独立，则所有试验结果（0-1）的概率分布相乘即为总的概率分布函数P(B|A)：
${\prod }_{i=1}^N{\mu }^{x_i}(1-\mu {)}^{1-x_i}$
其中，令$x_i=1$时表示硬币正面向上，$x_i=0$表示反面向上。$\mu$为正面向上的概率，即为要求的参数。
由设定可知，${\sum }_{i=1}^N{x}_i=k$，其中，k为N次试验中正面向上次数；同样可以令${\sum }_{i=1}^N(1-x_i)=q$，q为N次试验中反面向上的次数。
此时，P(A)设为beta(a,b)分布，形式为$\frac{{\mu }^{\alpha -1}(1-\mu {)}^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )}$ ，其中，分母为一个正则化项。
对P(B|A)P(A)取对数，整理可得：
$p(\mu |k,q)=(k+\alpha -1)ln\mu +(q+\beta -1)ln(1-\mu )$
因此可以看出，当样本量，即N=k+q很大时，a-1,b-1均可近似忽略，即得到对数极大似然函数，令一阶导=0即可得到$\mu =k/N$，即为频率，与本文前述结论吻合。