AVL树

详细描述，好像跟我自己写的差不多......不过终究是大神级别，讲的就是透彻

1. 概述

AVL树是最早提出的自平衡二叉树，在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为一，所以它也被称为高度平衡树。AVL树得名于它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis。AVL树种查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O（log n），增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。

2. 基本术语

有四种种情况可能导致二叉查找树不平衡，分别为：

（1）LL：插入一个新节点到根节点的左子树（Left）的左子树（Left），导致根节点的平衡因子由1变为2

（2）RR：插入一个新节点到根节点的右子树（Right）的右子树（Right），导致根节点的平衡因子由-1变为-2

（3）LR：插入一个新节点到根节点的左子树（Left）的右子树（Right），导致根节点的平衡因子由1变为2

（4）RL：插入一个新节点到根节点的右子树（Right）的左子树（Left），导致根节点的平衡因子由-1变为-2

针对四种种情况可能导致的不平衡，可以通过旋转使之变平衡。有两种基本的旋转：

（1）左旋转：将根节点旋转到（根节点的）右孩子的左孩子位置

（2）右旋转：将根节点旋转到（根节点的）左孩子的右孩子位置

3. AVL树的旋转操作

AVL树的基本操作是旋转，有四种旋转方式，分别为：左旋转，右旋转，左右旋转（先左后右），右左旋转（先右后左），实际上，这四种旋转操作两两对称，因而也可以说成两类旋转操作。

基本的数据结构：

 1 typedef struct Node* Tree;

 2 typedef struct Node* Node_t;

 3 typedef Type int;

 4  

 5 struct Node{

 6  Node_t left;

 7  Node_t right;

 8  int height;

 9  Type data;

10 };

11 int Height(Node_t node) {

12  return node->height;

13 }

3.1 LL

LL情况需要右旋解决，如下图所示：

1 Node_t RightRotate(Node_t a) {

2  b = a->left;

3  a->left = b->right;

4  b->right = a;

5  a->height = Max(Height(a->left), Height(a->right));

6  b->height = Max(Height(b->left), Height(b->right));

7  return b;

8 }

3.2 RR

RR情况需要左旋解决，如下图所示：

1 Node_t LeftRotate(Node_t a) {

2  b = a->right;

3  a->right = b->left;

4  b->left = a;

5  a->height = Max(Height(a->left), Height(a->right));

6  b->height = Max(Height(b->left), Height(b->right));

7  return b;

8 }

3.3 LR

LR情况需要左右（先B左旋转，后A右旋转）旋解决，如下图所示：

1 Node_t LeftRightRotate(Node_t a) {

2  a->left = LeftRotate(a->left);

3  return RightRotate(a);

4 }

3.4 RL

RL情况需要右左旋解决（先B右旋转，后A左旋转），如下图所示：

1 Node_t RightLeftRotate(Node_t a) {

2  a->right = RightRotate(a->right);

3  return LeftRotate(a);

4 }

4. AVL数的插入和删除操作

(1) 插入操作：实际上就是在不同情况下采用不同的旋转方式调整整棵树，具体代码如下：

 1 Node_t Insert(Type x, Tree t) {

 2  if(t == NULL) {

 3    t = NewNode(x);

 4  } else if(x < t->data) {

 5    t->left = Insert(t->left);

 6    if(Height(t->left) - Height(t->right) == 2) {

 7     if(x < t->left->data) {

 8      t = RightRotate(t);

 9     } else {

10      t = LeftRightRotate(t);

11     }

12   }

13  } else {

14    t->right = Insert(t->right);

15    if(Height(t->right) - Height(t->left) == 2) {

16     if(x > t->right->data) {

17      t = LeftRotate(t);

18     } else {

19      t = RightLeftRotate(t);

20     }

21   }

22  }

23  t->height = Max(Height(t->left), Height(t->right)) + 1;

24  return t;

25 }

(2) 删除操作：首先定位要删除的节点，然后用该节点的右孩子的最左孩子替换该节点，并重新调整以该节点为根的子树为AVL树，具体调整方法跟插入数据类似，代码如下：

 1 Node_t Delete(Type x, Tree t) {

 2  if(t == NULL) return NULL;

 3  if(t->data == x) {

 4   if(t->right == NULL) {

 5    Node_t temp = t;

 6    t = t->left;

 7    free(temp);

 8   } else {

 9    Node_t head = t->right;

10    while(head->left) {

11     head = head->left;

12    }

13    t->data = head->data; //just copy data

14    t->right = Delete(t->data, t->right);

15    t->height = Max(Height(t->left), Height(t->right)) + 1;

16   }

17   return t;

18  } else if(t->data < x) {

19   Delete(x, t->right);

20   if(t->right) Rotate(x, t->right);

21  } else {

22   Delete(x, t->left);

23   if(t->left) Rotate(x, t->left);

24  }

25  if(t) Rotate(x, t);

26 }

5. 总结

AVL树是最早的自平衡二叉树，相比于后来出现的平衡二叉树（红黑树，treap，splay树）而言，它现在应用较少，但研究AVL树对于了解后面出现的常用平衡二叉树具有重要意义。

 

原文摘自：

参考：http://dongxicheng.org/structure/avl/