一阶微分方程的求解

本篇介绍一下一阶微分方程的求解方法，以及伯努利方程的特殊求解方法。这个应该是上学时高数课中的内容，现在用到了，温习一下。 顺便感叹一下，时间过得真快。

1. 定义

形如上式的方程称为一阶线性微分方程, 并且当Q(x)恒为零时称为齐次线性方程, Q(x)不恒为零时称为非齐次线性方程.

 

2. 通解

2.1 齐次线性方程的通解

对于齐次线性方程：

可以推出：

通解为：

 

2.2  非齐次线性方程的通解

对于非齐次线性方程：

设通解为：

带入非齐次线性方程：

积分得：

其中C为常数。 

于是非齐次线性通解是：

由此可以看出，齐次线性方程的通解是非齐次线性方程的一个特解。

 

3.  伯努利方程

形如上式的方程叫做伯努利方程。

将方程线性化得：

例子：

求下列方程的通解

两边除以y的平方得：

将第一项中y的负平方移入微分内得：

由非齐次线性方程的通解可知：

即原方程的通解为：