状态空间搜索-

http://www.lencomputer.com/xk2008/lesson19/search_algorithm.htm

状态空间搜索是程序设计中的最基本方法之一。它通过在状态空间中的初始状态出发，按照一定的顺序和条件对空间中的状态进行遍历，最终找到目标状态。一般的状态空间搜索方法有枚举、深度/广度优先搜索、启发式搜索等等，由于枚举法相对比较易懂，这里不再加以介绍；同时介于篇幅的限制，我们在这一讲也不打算单独启发式搜索。于是，本讲的主要内容就是介绍深度/广度优先搜索以及一些常见的优化技巧。 

第一部分 深度优先搜索(Depth-first Search)

大多数程序员最先学习的搜索方法恐怕就是深度优先搜索(DFS)了，它那直接的思考方式很容易被人们所理解并接受。基于堆栈技术的回溯法就是DFS的一个很成功的应用，而我们所熟悉的“八皇后问题”便是回溯法中最为经典的问题。来看一看DFS是如何在状态空间中搜索的吧：  

                                

图1-1 状态空间图

在图1-1的状态空间图中，如果我们选择每次先扩展最左边的结点，再扩展右边的结点，那么我们的搜索顺序就是1-> 2 -> 4 -> 8 -> 9 -> 5 -> 10 -> 11 -> 3 -> 6 -> 12 -> 13 -> 7 -> 14 -> 15。

DFS回溯法的递归实现框架大致如下：

void Dfs(int a)

{

设置出口

for 循环枚举可能值

{

    修改一些参量值。

    Dfs(a + 1) ；

　　恢复之前修改的参量值。

}

}

1. 普通深度优先搜索

与广度优先搜索(BFS)相比，DFS的一个最大好处就是它所需要的空间开销非常小，因为它只需要记录当前的状态即可。于是，在处理需要遍历大量结点的问题时，DFS就体现出了它在空间复杂度方面的优势。当然，在另一些问题，比如处理形如“目标结点较浅”类型的问题时，相对DFS来说，BFS的时间优势就会相当明显。

来看一个DFS的例子吧:

[例 1-1, POJ 1167] 公交车问题

一男子于12:00来到一个公交车站，他记录下了12:00-12:59所有公交车的到站情况。现在我们假设：
    1) 同一条线路的公交车到站是有规律的，也就是每隔一个固定时间就会有一辆车到站。
    2) 公交车的到站是以分钟为最小计量单位的。
    3) 每一条线路的车至少到站两次。
    4) 经过该车站的公交车线路≤17条。
    5) 不同线路的公交车可以同时到达该车站。
    6) 不同线路的公交车到该车站的时刻和时间间隔均可以相同。

现在问，根据该男子的记录，最少有多少条公交车线路经过该车站？

[分析]

此题是明显的搜索题，且DFS较为合适。由于每条线路只需要第一和第二辆车到达的时刻，就可以完全确定，因此我们可以依次考虑12:00-12:59的车辆到达情况。假设某一个时刻有一辆车到达本站，那么它有两种可能：

1) 它是一条新线路的第一辆车；2) 它是已有某条线路的第二辆车。

如果是情况1)，那么我们需将它作一下标记。如果是情况2)，那么我们就枚举该线路的第一辆车在何时刻到达，有了此时刻，那么就可以完全确定这条线路，随后我们可以把这一条线路从记录中删除。再根据题干中提到的那么约束条件，我们就可以写出程序了。

 

2. 迭代加深搜索(Iterative Deepening Search)

尽管DFS对空间复杂度的要求很低，但它也有着不少问题。其中很突出的一点就是，DFS在处理一些“目标结点较浅”的问题时，往往效率不够高。比如图1-1中，如果目标状态为3结点，那么它将在第9步才找到。假如这棵状态树更深一些，或者它是无限长的，那么DFS就很有可能在有限时间内找不到解。而事实上我们看到，目标状态3其实离初始状态1非常接近。

因此这种情况下，我们需要对DFS进行一定的改进。最直接的想法就是，为它设定一个深度限制d，使得我们只在深度d范围内搜索。这样如果目标结点在该范围内，那么就很轻易的找到了解。而只要我们让d从1开始逐渐递增，那么就可以在有限步内找到目标结点。这就是迭代加深搜索思想(IDS)（图1-2）。 

 

 

图 1-2 迭代加深搜索

在IDS方法中，很多结点都被重复搜索了多次。这对它的效率有一定的影响。分析一下，假设每个结点的子结点个数为b，那么可以看到，每加深一层(由第i层增加到第i+1层)，新扩展出的结点数为bⁱ⁺¹,而之前的结点数为1+b+b²+…+bⁱ=bⁱ⁺¹-1,差不多有一半结点被重复了。不过尽管如此，可以看到它的时间复杂度比DFS只是增加了常数倍，从数量级上来看是一样的。

 

第二部分 广度优先搜索（Breadth-first Search）

广度优先搜索(BFS)也是最为常用的搜索方法之一。与DFS相比，BFS最大的不同是它的搜索顺序是按照逐层扩展的，对于图1-1来说，BFS依次扩展出的结点为1->2->3->…->15，因此它所用来存储的数据结构是队列而不是堆栈。BFS的实现框架大致如下：

void BFS()

{

   while( 队列可扩展且尚未找到目标状态)

    {

       从队首依次取出队列中未扩展的结点进行扩展，并将新结点加入队尾。

    }

}

1.  普通广度优先搜索

对于求“最短步数”一类的问题，一般BFS会比DFS快一些。原因就在于DFS经常会纠缠于那些找不到目标结点的分支中。来看一看下面这个经典的例子：

[例2-1, POJ 1077] 八数码问题

给定一个3*3的格子，里面已经填上了数字1-8以及一个空格，问是否能够通过空格移动数字，使得最终能得到如下图案：                             

[分析]

如果盲目移动数字，那么很容易就会出现重复的情况。因此我们需要判重。那么如何记录一个图案状态呢？如果我们将图上的9个格子中的数（空格看成９）线性地连起来，那么这样一个排列就能唯一地确定一个图。接下来我们只需给出一个排列的序号即可：

对于一个序列：a₁a₂…a₉,可以依次考虑数字a_i(1≤i≤9)后有几个数字小于它，设a_i后有b_i个数比它小，那么a_i贡献的权值为b_i*(9-i)!，最后计算 ，就得到了它的序号。这个方法很直接也好理解，就不再解释了。由于9个数的排列有9!种方法，因此我们需要大小为9!的数组来判重。

接下来就是用什么搜索方法的问题了。可以看到，虽然题目里没有明确说求最短的移动方法，但是相对来说，如果我们能找到最短的移动方法，那么自然算法的速度相对会快一些。所以这里我们可以使用BFS(当然带判重DFS也是可以的)来解题。队列的初始状态就是初始图案上数字的线性排列，比如图2-1(a)中就是973851624，我们需要得到的目标状态是123456789。通过BFS的基本框架，实现算法应该是较为容易的。

这里给出一个小技巧，如果题目是多Case的，那么可以作预处理，即把初始状态设为123456789，用一遍BFS算出所有可达状态是如何到达的，然后根据给定的输入数据，将原先的移动过程颠倒，就得到我们所需要的答案。这样多个Case只需一遍BFS，而不是多遍BFS就能解决了。

2. 双向广度优先搜索

对于一棵搜索状态树，如果每个结点的子结点数目很多，那么状态数每加深一层，就会扩展出指数倍的状态树。因此，我们希望能对状态数目做适当的控制。双向广搜就是这样一种方法，假如我们知道初始状态S和目标状态T，也知道由初始到目标最多需要经过的步数K，那么我们可以这样做:

先用BFS对S扩展出深度≤[k/2]的所有结点，假如没有找到T，那么再对T用BFS反向扩展出深度≤k-[k/2]的所有结点，这些结点中必然与之前的某些结点有重复，考察这些结点，我们就能够找到一条最短路径。用图表示如下：

 

图2-2 双向广搜

 可以看出，双向广搜的最大好处就是可以少扩展出指数倍的无用结点，为搜索节省了大量的空间和时间。

 

第三部分 搜索的优化技巧

1.改变搜索顺序

搜索顺序的确立对于搜索的效率是很重要的，如果我们每次都选择先扩展更接近目标状态的结点，那么就会更快的找到最优解，并为剪枝提供依据。因此，搜索顺序的改变往能起到意想不到的效果。事实上搜索顺序的不同也是BFS和DFS之间最大的区别之一。这一节我们没有对A^*算法做介绍，事实上，A^*算法就是一种典型的通过调整搜索顺序来更快找到解的方法。它利用一个评价函数来决定子结点的优先级，然后按优先级从高到低的顺序依次进行遍历。这显然比盲目搜索法要好得多。

2.增加剪枝策略

剪枝是搜索中最基本，也是最重要的技巧之一。有时一条好的剪枝可以去掉一棵搜索状态树中大部分的无用结点。剪枝策略的好坏，决定了搜索法的最终效率。有时，一个问题可以采用几种不同的搜索方法，这时，我们就会选择其中具有最好剪枝手段的那个方法。用一个例子来的剪枝技巧吧：

 例3，POJ 1011] 合并木棒

我们有n(n≤64)根小木棍，每根长度均不大于50。现在需要将它们拼接成长度相同的若干长木棍，使得这些长木棍最短。

[分析]

此题也是很明显的搜索题。最直接的思路就是从小到大枚举每个拼成后的木棍长(d)，之所以要从小到大，是因为按题意，最小的长度才是我们要找的解，因此，按从小到大的顺序找到的第一个满足题意的长度d就是该问题的解。假设所有木棍总长为t,那么一共就要拼d/t根木棍。随后我们用小木棍将这d/t根木棍一根一根地拼完即可。当然，由于数据量不算小，如果直接做很难在规定时间内出解，故我们需要有一些好的剪枝技巧：

1) 让我们先对木棍长从大到小排个序，之所以从大到小，是因为直观上，先拼上长木棍，接下来用短木棍补充似乎更容易成功拼完。如果先费了一番功夫拼短木棍，最后发现接上剩下的任何一根长木棍都已超过当前枚举的长度d，那么就浪费了之前的搜索。

2)枚举的长度d也有要求，首先d应该不小于最长的小木棍长度，不大于木棍总长t。其次d必须是t的约数。这个剪枝很容易想到，也对减小搜索量非常有帮助。 

接下来就可以进行搜索了，可以用一个函数
   
     

bool solve(int rest, int start, int step)进行DFS，其中rest表示正在拼的当前木棍还需要多少长度，start表示当前可以从第几根开始拼，Step表示当前还剩下多少根小木棍。
   
     

搜索中同样可以找到好些剪枝策略。

3) 我们从start到n枚举小木棍编号i,如果此时rest=len(i),那么显然把这根木棍拼上是最好的选择了，也不需要枚举i+1…n号木棍了。

4) 如果len(i)…len(j)都具有相同的长度，那么试探完i后应该跳过这些相同长度的小木棍，直接枚举第(j+1)号小木棍。

5) 如果当前挑选的小木棍是目前正在拼的木棍的首根木棍，即rest == d, 那么试完i后我们没有必要再去试i+1，而是直接跳回递归上一层。因为对于一个合理的分配，小木棍i一定属于某一根待拼木棍，而当前木棍还没有开始拼，既然是这样，那么就可以认为它属于当前木棍。如果拼上它后，没有能够形成满足条件的解。那么也就没有必要继续尝试了，因为在上一层的木棍分配上肯定已经出现了错误。

可以看出，以上说的这些剪枝条件很多都不能直接能想到，需要仔细分析搜索过程后才能得出。剪枝策略是多种多样的，不同的问题对应有的不同策略。同时，由于每次都需要一些适当的判断，剪枝也会相应地付出一些代价。有些剪枝的“成本”甚至超过了它所带来的益处，这显然是不可取的。那些能够补偿策略本身所花费代价的剪枝，才能称得上是好的剪枝。

                                                      

[参考文献]

1.《算法导论》第2版（美）科曼 机械工业出版社 2006年9月

2.《算法艺术与信息学竞赛》第1版 刘汝佳，黄亮 清华大学出版社 2004年1月

3. 例题来源 http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/