贝尔数（来自维基百科）& Stirling数

贝尔数

 

贝尔数以埃里克·坦普尔·贝尔（Eric Temple Bell）为名，是组合数学中的一组整数数列，开首是（OEIS的A000110数列）：

 

Bell Number

B_n是基数为n的集合的划分方法的数目。集合S的一个划分是定义为S的两两不相交的非空子集的族，它们的并是S。例如B₃ = 5因为3个元素的集合{a, b, c}有5种不同的划分方法：

{{ a}, { b}, { c}}

{{ a}, { b,  c}}

{{ b}, { a,  c}}

{{ c}, { a,  b}}

{{ a,  b,  c}};

B₀是1因为空集正好有1种划分方法。空集的每个成员都是非空集合（这是Vacuous truth，因为空集实际上没有成员），而它们的并是空集本身。所以空集是它的唯一划分。

贝尔数适合递推公式：

上述组合公式的证明：

可以这样来想，B_{n+1}是含有n+1个元素集合的划分的个数，考虑元素

假设他被单独划分到一类，那么还剩下n个元素，这种情况下划分个数为；

假设他和某一个元素被划分为一类，那么还剩下n-1个元素，这种情况下划分个数为 ；

假设他和某两个元素被划分为一类，那么还剩下n-2个元素，这种情况下划分个数为 ；

依次类推，得到了上述组合公式

它们也适合“Dobinski公式”：

期望值为1的 泊松分数的 n次矩。

它们也适合“Touchard同余”：若p是任意质数，那么

每个贝尔数都是"第二类Stirling数"的和

Stirling数S（n, k）是把基数为n的集划分为正好k个非空集的方法的数目。

把任一概率分布的n次矩以首n个累积量表示的多项式，其系数和正是第n个贝尔数。这种数划分的方法不像用Stirling数那个方法粗糙。

贝尔数的指数母函数是

贝尔三角形[编辑]

用以下方法建构一个三角矩阵（形式类似杨辉三角形）：

• 第一行第一项是1（）
• 对于n>1，第n行第一项等同第n-1行最后一项。（）
• 对于m,n>1，第n行第m项等于它左边和左上方的两个数之和。（）

结果如下：（OEIS:A011971）

每行首项是贝尔数。每行之和是第二类Stirling数。

这个三角形称为贝尔三角形、Aitken阵列或Peirce三角形（Bell triangle, Aitken's array, Peirce triangle）。

参见[编辑]

• 贝尔多项式

参考[编辑]

• http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=9059

分类：

• 整数数列