Nyquist稳定性判据通俗理解及应用

原理介绍部分请先看这篇博客关于幅角原理的理解和Nyquist稳定性判据
注意:奈式路线和奈式曲线不是同一个东西!

一、有关奈式路线的画法

目的:包含整个右半平面
方法:以原点为圆心,无穷长为半径画半圆,在原点或者虚轴上如果存在开环函数的极点,则以无穷小的半圆逆时针绕过去。

二、奈氏判据的使用

\quad 寻找G(s)H(s)绕点(-1,j0)的圈数,记为 N − 1 N_{-1} N1,然后找到F(s)=1+G(s)H(s)在右半平面的极点个数 P − 1 P_{-1} P1,当然,这也是G(s)H(s)在右半平面极点的个数,因为F(s)和G(s)H(s)同分母。然后就可以通过 Z − 1 Z_{-1} Z1= N − 1 N_{-1} N1+ P − 1 P_{-1} P1计算出来。
\quad 有以下几个重点需要注意:

1.G(s)H(s)的奈氏曲线需要的是 ω \omega ω − ∞ -\infin + ∞ +\infin +

\quad 但是我们常画的图是从 0 + 0_+ 0+ + ∞ +\infin +,需要根据对称性画出另一部分。根据对称性画出另一部分,有这样一个问题,当开环传递函数G(s)H(s)有积分环节的时候,即s=0是G(s)H(s)的极点的时候,奈氏曲线是从 ∞ \infin 的地方开始画的,这样就会出现一个问题, ω = 0 + \omega=0_+ ω=0+ ω = 0 − \omega=0_- ω=0不是同一个点,那么该如何做出完整的奈氏曲线。
\quad 这里有个结论:当s=0是G(s)H(s)极点的时候,奈式路线是从 j 0 − j0_- j0以无穷小的半圆逆时针转到 j 0 + j0_+ j0+,奈式曲线以无穷大半径顺时针转v* π \pi π度,v是G(s)H(s)积分环节s的幂次。
\quad 举个例子 开环传递函数 : G ( s ) H ( s ) = s + 1 s ( s − 1 ) \quad G(s)H(s)= \frac {s+1}{s(s-1)} G(s)H(s)=s(s1)s+1 即: G ( j ω ) H ( j ω ) = j ω + 1 j ω ( j ω − 1 ) G(j\omega)H(j\omega)= \frac {j\omega+1}{j\omega(j\omega-1)} G(jω)H(jω)=jω(jω1)jω+1
Nyquist稳定性判据通俗理解及应用_第1张图片
\quad 蓝色的虚线就是就是结论中转过的1* π \pi π,这对计算圈数有这很重要的影响。
\quad 分析一下:奈式曲线绕(-1,j0)的圈数为0,过(-1,j0)两次,证明闭环系统在虚轴上面有两个极点。当然,过L次就证明有L个,嘿嘿。 N − 1 N_{-1} N1=0, P − 1 P_{-1} P1=1, Z − 1 Z_{-1} Z1=1,系统是不稳定的。还是这幅图,要是与实轴的交点在(-1,j0)的左侧,满足了 N − 1 N_{-1} N1=-1,就稳定了。(不妨试试,给G(s)H(s)一个开环增益K=9试试,哈哈哈,可以求出这个临界增益是 K = 90 11 K=\frac {90}{11} K=1190

2.假如 P − 1 P_{-1} P1不方便知道,如何求取?

\quad 在上面我们都是很容易的看出 P − 1 P_{-1} P1,某些情况下, P − 1 P_{-1} P1不方便看出来的时候怎么办。就比如G(s)H(s)= s + 1 s 3 + 3 s 2 + 10 \frac {s+1}{s^3+3s^2+10} s3+3s2+10s+1, 我们可以对G(s)H(s)应用幅角原理。(yysy,这里用劳斯判据去看 s 3 + 3 s 2 + 10 = 0 s^3+3s^2+10=0 s3+3s2+10=0在右半平面的零点更方便的,很容易看出是2)。看G(s)H(s)绕原点的圈数 N 0 N_{0} N0和G(s)H(s)在右半平面的零点个数,我们可以求出 P 0 P_{0} P0,这个 P 0 P_{0} P0是G(s)H(s)在右半平面的极点个数,也是F(s)在右半平面的极点个数 P − 1 P_{-1} P1,就是我们要用的那个 P − 1 P_{-1} P1
\quad 这里需要注意的是:G(s)H(s)的奈式曲线要以无穷小半径,绕原点逆时针转过(n-m)* π \pi π,其中n是G(s)H(s)分母阶数,m是G(s)H(s)分子阶数,这样计算出来的 N 0 N_0 N0才是准确的!!!

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