Nyquist稳定性判据通俗理解及应用

原理介绍部分请先看这篇博客关于幅角原理的理解和Nyquist稳定性判据
注意：奈式路线和奈式曲线不是同一个东西！

一、有关奈式路线的画法

目的：包含整个右半平面
方法：以原点为圆心，无穷长为半径画半圆，在原点或者虚轴上如果存在开环函数的极点，则以无穷小的半圆逆时针绕过去。

二、奈氏判据的使用

\quad 寻找G(s)H(s)绕点(-1,j0)的圈数，记为$N_{-1}$，然后找到F(s)=1+G(s)H(s)在右半平面的极点个数$P_{-1}$，当然，这也是G(s)H(s)在右半平面极点的个数，因为F(s)和G(s)H(s)同分母。然后就可以通过$Z_{-1}$=$N_{-1}$+$P_{-1}$计算出来。
\quad 有以下几个重点需要注意：

1.G(s)H(s)的奈氏曲线需要的是$\omega$从$-\infty$到$+\infty$

\quad 但是我们常画的图是从$0_{+}$到$+\infty$，需要根据对称性画出另一部分。根据对称性画出另一部分，有这样一个问题，当开环传递函数G(s)H(s)有积分环节的时候，即s=0是G(s)H(s)的极点的时候，奈氏曲线是从$\infty$的地方开始画的，这样就会出现一个问题，$\omega =0_{+}$和$\omega =0_{-}$不是同一个点，那么该如何做出完整的奈氏曲线。
\quad 这里有个结论：当s=0是G(s)H(s)极点的时候，奈式路线是从$j{0}_{-}$以无穷小的半圆逆时针转到$j{0}_{+}$，奈式曲线以无穷大半径顺时针转v*$\pi$度，v是G(s)H(s)积分环节s的幂次。
\quad 举个例子 开环传递函数 ：$G(s)H(s)=\frac{s+1}{s(s-1)}$ 即：$G(j\omega )H(j\omega )=\frac{j\omega +1}{j\omega (j\omega -1)}$

\quad 蓝色的虚线就是就是结论中转过的1*$\pi$，这对计算圈数有这很重要的影响。
\quad 分析一下：奈式曲线绕(-1,j0)的圈数为0，过(-1,j0)两次，证明闭环系统在虚轴上面有两个极点。当然，过L次就证明有L个，嘿嘿。$N_{-1}$=0，$P_{-1}$=1，$Z_{-1}$=1，系统是不稳定的。还是这幅图，要是与实轴的交点在（-1，j0）的左侧，满足了$N_{-1}$=-1，就稳定了。（不妨试试，给G(s)H(s)一个开环增益K=9试试，哈哈哈，可以求出这个临界增益是$K=\frac{90}{11}$）

2.假如$P_{-1}$不方便知道，如何求取?

\quad 在上面我们都是很容易的看出$P_{-1}$，某些情况下，$P_{-1}$不方便看出来的时候怎么办。就比如G(s)H(s)= $\frac{s+1}{s^3+3s^2+10}$, 我们可以对G(s)H(s)应用幅角原理。(yysy，这里用劳斯判据去看$s^3+3s^2+10=0$在右半平面的零点更方便的，很容易看出是2)。看G(s)H(s)绕原点的圈数$N_0$和G(s)H(s)在右半平面的零点个数，我们可以求出$P_0$，这个$P_0$是G(s)H(s)在右半平面的极点个数，也是F(s)在右半平面的极点个数$P_{-1}$,就是我们要用的那个$P_{-1}$。
\quad 这里需要注意的是：G(s)H(s)的奈式曲线要以无穷小半径，绕原点逆时针转过（n-m）*$\pi$，其中n是G(s)H(s)分母阶数，m是G(s)H(s)分子阶数，这样计算出来的$N_0$才是准确的！！！