matlab做三次拉格朗日插值多项式_计算方法（2）——插值法（附Python程序）

给定一些数据，生成函数的方式有两种：插值，回归。

插值而得到的函数通过数据点，回归得到的函数不一定通过数据点。

下面给出拉格朗日插值，牛顿插值和Hermite插值的程序，

具体原理可参考课本，不再赘述。

拉格朗日插值法

线性插值 一次精度 需要2个节点

二次插值 二次精度 需要3个节点

n次插值 n次精度 需要n+1个节点

拉格朗日插值代码段（根据传入数据自动判断次数）：

# 返回多项式

其中lu_solve(A,b)是自己写的轮子，可以用numpy的numpy.linalg.sovle(A,b)来代替

到后面会有一期讲矩阵方程直接法，会有讲到如何写lu_solve()

看一看插值的效果如何

import 

拉格朗日插值

可以看到，插值之后的函数可以较好地反映原数据点的情况。

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牛顿插值法

涉及到的两个表，差分表和差商表：

差分表

差商表

递归打印差分表

def 

打印差商表，并以列表的形式返回图中蓝色圈起来的部分

def 

牛顿插值代码段（调用了之前求差商表的代码）

def 

插值效果图

牛顿插值

可以看到，相同的插值节点，使用拉格朗日插值和牛顿插值的结果是相同的。

Hermite 插值法

三次Hermite插值不但要求在插值节点上插值多项式与函数值相等，还要求插值多项式的导数与函数导数相等。

进行Hermite插值需要六个信息：

这个比较好理解，通过

两点的插值有无限种方式。比如：

但是，通过限制住两个端点的导数值，就可以确定下来大致的插值形状。（对于Hermite插值，六个条件能确定出唯一的插值结果）

例如，可以编程求出

def 

龙格现象（Runge phenomenon）

然而，并不是所有的函数都可以通过提高插值次数来提高插值准确度。

比如著名的龙格函数

，从[-1,1]取10个点，插值出来的函数是这样的：

这就是龙格现象，主要原因是误差项里面的高阶导数导致的。

什么是龙格现象(Rungephenomenon)？如何避免龙格现象？_MachineLearningwithTuring'sCat-CSDN博客_龙格现象​www.baidu.com

https://en.wikipedia.org/wiki/Runge%27s_phenomenon​en.wikipedia.org

其实不单单是

，很多偶函数都有这样的性质：

比如

：

用于生成上图的代码：

# 龙格现象的产生

如何避免龙格现象，就需要用到分段插值了。

下一篇将讲解分段插值。