最佳路径搜索（二）：启发式搜索（代价一致搜索（Dijkstra search），贪心搜索，A*搜索）

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前言

启发式搜索(Heuristically Search)又称为有信息搜索(Informed Search)，它是利用问题拥有的启发信息来引导搜索，达到减少搜索范围、降低问题复杂度的目的，这种利用启发信息的搜索过程称为启发式搜索。简单来说，就是已知起点和终点位置，寻找最佳路径。

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一、启发式搜索（heuristic search)

方法（Dijkstra search，Greedy Search，A* ）

代价一致搜索 (Uniform Cost Search or Dijkstra search)
贪心搜索 (Greedy Search)
A星搜索 (A* Search)

首先， 使用评价函数 f(x) 来对上述的节点选择顺序进行排序
下面先定义两个函数

g(x) 为从根节点到x节点的代价总和

h(x) 为从x节点到目标节点的估计代价总和

这类应用算法有

代价一致搜索 (Uniform Cost Search or Dijkstra search) f(x) = g(x)

贪心搜索 (Greedy Search) f(x) = h(x)

A星搜索 (A* Search) f(x) = g(x) + h(x)

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性质（Admissible & Consistent & dominate）

Admissible heuristic

admissibility是启发式搜索的一个性质，如果满足这个性质，那么，启发函数一定能得到最佳solution。

A*搜索能找到最优解的充分条件:

1. 搜索树上存在着从起始点到目标点的最优路径
2. 问题域是有限的
3. 所有结点的子结点的成本>0
4. h(n) =< h*(n) (h*(n)为从节点n到目标点的实际成本)

1 2 3易满足，第4条中这样的启发函数被称为Admissible heuristic，也就是说在A*中我们对目标的估计必须小于或等于其实际值,不然可能会出现找不到最优路径或者根本找不到路径的情况

Consistent heuristic

N是开始节点，绿色的是目标节点，h(N)则是从N到目标节点的启发函数，N’为任意不同于N的节点
A star with tree能找到最优解的充分条件:

1. 搜索树上存在着从起始点到目标点的最优路径
2. 问题域是有限的
3. 所有结点的子结点的成本>0
4. h(N’) + c(N, N’) < h(N)
   这样的启发函数被称为Consistent heuristic，只有满足了这个才能保证A*算法在图搜索中能找到最优解。

一个启发函数是consistent，它也是admissible。反之，不可。

dominate

Dominance（用于表现不同启发函数的关系）
two admissible heuristics ha, hb：如果对于所有n, ha(n) >hb(n),那么，我们可以说 ha dominates hb，对于这个search问题，我们最好使用ha作为启发函数。

总结

A star算法的特点(考虑g(x)+h(x)，注意树搜索满足Admissible heuristic，图搜索满足Consistent heuristic时)

1. 完备性：肯定能找到最优解
2. 最优性：找到的解花费最小
3. 快：扩展更少的节点

UCS(代价一致搜索，只考虑g(x))

1. 完备性：肯定能找到最优解
2. 最优性：找到的解花费最小
3. 比A*慢一些
   广度优先搜索是代价一致搜索的特例

贪婪搜索(启发式搜索，但只考虑h(x))

1. 不完备性：不保证能找到最优解
   深度优先搜索是贪婪搜索的特例（令h(n)===0，A*搜索退化为宽度优先搜索(BFS)，不估计成本，肯定能找到最优解）