Sobolev空间

1. 前言

我们在测度的基础上建立了积分学乃至于分布理论（Distribution Theory），显然，在${\mathbb{R}}^n$中，我们有如下关系
$$经典意义下的可微函数\subset 连续函数\subset L_{loc}^1({\mathbb{R}}^n)\subset {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n).$$
现在我们有一个至关重要的问题，如果在最大的框架下，也就是在${\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$中分辨出经典意义下的可微函数？也就是说，我们如何用积分的判据，得到可微的等价条件？这就引出这篇文章讨论的主题——Sobolev空间。我们有两种观点来建立Sobolev空间，一种是直接通过积分得到整数阶Sobolev空间，再通过插值得到一般的Sobolev空间。另一种是通过Fourier变换，在频域上做不同频率的分解，直接得到一般的Sobolev空间。我们先介绍第一种，再介绍第二种。

2. 经典Sobolev空间

设$\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$是一个开集，$u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$是一个分布，也就是满足如下条件的$C_c^{\infty }(\Omega )$上的连续线性泛函