倪文迪带你学蓝桥杯2021寒假每日一题：1.5日第3题

2021年寒假每日一题，2017~2019年的省赛真题。
本文内容由倪文迪（华东理工大学计算机系软件192班）和罗勇军老师提供。

题目：魔方状态 http://oj.ecustacm.cn/problem.php?id=1319
  2017年蓝桥杯软件类省赛C++语言大学A组第3题，一道填空题。

1、题目大意

  一个二阶魔方，有6个面，但是只涂了3种颜色：
  （1）前面、下面：涂橙色
  （2）右面、左面：涂绿色
  （3）上面、后面：涂黄色
  然后随便你打乱它，问一共有多少种不同状态。
  如果两个状态经过魔方的整体旋转后，各个面的颜色都一致，则认为是同一状态。

2、我的尝试

  既然是填空题，看有没有投机取巧的办法。
  正常的二阶魔方，有6种颜色，每个角块都不同，共8种角块。以一个角块不动作为参考角块，其他7个角块都能任意转换方向。有$7!$种情况。
  7个角块排列的时候，只有6格角块可以自由选择方向，第7个角块的方向取决于前6个（玩过魔方都知道，其他7块固定时，1个角块不能在原地转动），有$3^6$种情况。
  所有情况一共有：$7!\times 3^6=3,674,160$。
  正常魔方是很简单的。
  本题只有三种颜色，却复杂得多。倪文迪说用排列组合很难做，本教师不相信。结果浪费半天时间之后，被迫同意他的说法。
  为了找出到底有几种不同的角块，本教师用白纸做了一个破六面体，观察好久，终于发现：
  本题的二阶魔方，涂3种颜色，只有4种不同的角块，每种2个。设三种颜色是1、2、3，这4种角块是：132、312、113、322。
  这4种角块，有三种颜色的角块132、312，和两种颜色的角块113、322。
  问有几种排列？下面尝试排列一下。
  先看2个三色角块132，可以并排放、对角放、反对角放（互相看不见），共3种，每种有3个旋转，共$3\times 3=9$种情况。
  然后再放2个三色角块312…
  …
  本教师已经晕了，做不下去了。
  偷看了答案，是229878，$229878=43\times 11\times 3^5\times 2$，估计不是一个简单的排列吧。
  据说能用Burnside引理做，哪位大神做了请告诉我，让大家一起学学。

3、我的放弃

  既然用数学方法想不通，就只能用计算机暴力求解了，基本思路是：模拟魔方的旋转，把每次新的旋转结果看成一个状态，然后用BFS搜索所有的状态，看一共有多少种。当然，还要对状态判重。
  不过，这是一个代码很复杂（很恶心）的模拟题，比赛的时候做，简直是浪费生命、浪费其他题得分的机会。对省赛这种得奖面大的比赛，还是放弃吧。
  最后是倪文迪说的话：“这道题目初看是排列组合，但由于其涂色的特殊性，不方便由组合数学解决。只能考虑终极搜索+模拟…对于这几个块形成的魔方，定义它为一种状态，我们需要做的就是模拟魔方的旋转，并判定当前状态是否与之前出现过的状态重复。然后我们建一维数组，人为规定状态表达，填入到数组中，再判重。”
  参考一位大神写的模拟，非常佩服（小声说一句，运行时间很长很长，不要误会死机了）：https://blog.csdn.net/qq_35222235/article/details/79725363

4、大神的手算

  本博客发布之后，本校大神杭业晟（获得第十一届蓝桥杯全国总决赛A组一等奖）表示，他去学了一下Burnside引理，然后手算了这个题。
  先学这个：Burnside引理
  下面是杭业晟的手算：“我发现立方体有24个置换群…最后再除3是因为只有1/3是能够转的出来的”。