数据结构知识整理 - 构造图（邻接表和邻接矩阵）
主要内容
- 图的定义
- 图的存储结构
- 邻接矩阵
- 邻接表
- 对比邻接矩阵与邻接表
- 十字链表
- 邻接多重表
前言
在线性表中，数据元素之间仅有线性关系，每个数据元素只有一个直接前驱和一个直接后继；
在树形结构中，数据元素之间有明显的层次关系，并且每一层中的数据元素可能和下一层的多个元素（子结点）相关，但只能和上一层的一个元素（父结点）相关；
在图结构中，结点之间的关系是任意的，可以说树形结构是特殊的图结构。
图的定义
图（Graph）G由两个集合V和G组成，记作G = (V,G)。其中V是各顶点（结点）的有穷非空集合，V中的任意两个顶点配对后作为集合E的元素，顶点偶对亦称为边。
在有向图中，E中的元素形式为
在无向图中，E中的元素形式为(x,y)，仅表示连接顶点x和顶点y的一条边，效果同(y,x)。
在实际应用中，每条边可以标上具有某种含义的数值，该数值称为边上的权，这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。这种带权的图又称作网。
图的存储结构
由于图的任意两个顶点之间都可能存在联系，因此无法以数据元素在存储区中的物理位置来表示元素之间的关系，即图没有顺序存储结构，但我们可以用二维数组（矩阵）来表示元素之间的关系——邻接矩阵。除此之外还有链式存储结构，包括邻接表、十字链表和邻接多重表。其中邻接矩阵和邻接表最常用。
邻接矩阵
邻接矩阵（Adjacency Matrix）是表示顶点之间相邻关系的矩阵，存储在二维数组中。
1）在无向图中，若顶点v1与v2有联系，v1与v3没有联系，则在矩阵中，(1,2)和(2,1)的值为1，(1,3)和(3,1)的值为0，对称矩阵；
2）在无向网中，若边(v1,v2)的权为7，v1与y3没有联系，则在矩阵中，(1,2)和(2,1)的值为7，(1,3)和(3,1)的值为∞（无限）；
3）在有向图中，若v1为弧尾，v2为弧头，v2不指向v1，则在矩阵中，(1,2)的值为1，(2,1)的值为0；
4）有向网的情况可以类推。
*需要注意的是，矩阵和二维数组的“坐标”含义是不同的，矩阵的(1,1)等价于二维数组中的[0,0]。
邻接矩阵仅记录着任意两点间的联系，我们还需要一个一维数组来记录每个顶点的信息，有边有顶点，这样才能构成一个完整的图。
清楚邻接矩阵的使用方法后，我们可以轻松写出以它为基础的图的结构形式。
为了避免概念的混淆，之后我会把图称作邻接矩阵图（AMGraph）。
/*邻接矩阵的结构表示*/
#include
using namespace std;
#define MaxInt 32767 /*表示∞（无限）*/
#define MaxVNum 100 /*表示图中最多可以包含的顶点数*/
typedef char Vextype; /*将顶点的数据类型设为字符型，如果你喜欢也可以把它设成更复杂的结构体*/
typedef int Arctype; /*将边的权值设为整型*/
typedef struct
{
Vextype vexs[MaxVNum]; /*用来保存顶点信息的一维数组*/
Arctype arcs[MaxVNum][MaxVNum]; /*邻接矩阵*/
int vexnum, arenum; /*记录图的顶点数和边数*/
} AMGraph; /*将结构体命名为AMGraph*/
写出邻接矩阵图的结构形式后，可以开始往里面放东西了。
下面以“无向网”为例写一下邻接矩阵表示法的使用方法：
<思路>
（1）数一下无向网有多少个顶点（vexnum），多少条边（arcnum），然后将数值输入。当然，你也可以凭空造一个网，在先前定义的MaxVNum内赋值就行。
（2）在一维数组vex内输入顶点信息，一个循环完成。
（3）初始化邻接矩阵，将每个权值初始化为MaxInt。为什么呢？因为矩阵里除了若干个权值外，剩余的都是MaxInt，不可能先把权值填好，再来一个个把没有权值的地方填上MaxInt，这样效率极低而且繁琐。
（4）构造邻接矩阵。依次输入每条边依附的两个顶点v1和v2以及其权值w并赋值。因为输入的v1、v2有可能不在0~MaxInt的范围内，而且矩阵和二维数组的“坐标”含义是不同的，即矩阵的(1,1)等价于二维数组中的[0,0]，所以需要一个函数LocateVex()帮助判断、转化并确定“坐标”。
int CreatUDN(AMGraph &G) /*UDN意为Omnidirectional Net，无向网*/
{ /*上面<思路>中写了的东西下面就不再啰嗦喽*/
int i, j, w;
cin>>G.vexnum>>G.arcnum;
for(i = 0; i < G.vexnum; i++) cin>>G.vexs[i];
for(i = 0; i < G.vexnum; i++)
for(j = 0; j < G.vexnum; j++)
G.arcs[i][j] = MaxInt;
for(int k = 0; k < G.arcnum; k++)
{
cin>>v1>>v2>>w;
i = LocateVex(G, v1); j = LocateVex(G, v2);
G.arc[i][j] = G.arc[j][i] = w;
}
return 0;
}
邻接矩阵的优缺点：
1）优点：
a. 便于判断两个顶点是否有联系。确定顶点后再确定矩阵上的相应位置是否非0或非MaxInt即可。
b. 便于计算各个顶点的度。其实也不用计算，数就完事了。对于无向图，多少个(1,n)的值为1，v1的度就是多少；对于有向图，多少个<1,n>的值为1，v1的出度就是多少，多少个
2）缺点：
a. 不便于增加和删除顶点。非链式结构的通病。
b. 不便于统计边的数目，需要遍历邻接矩阵的所有元素，时间复杂度为O(n²)。无向图遍历完后还要除以2。
c. 空间复杂度高。非链式结构的另一通病，稀疏图（边或弧数较少）尤其浪费空间。
邻接表
邻接表（Adjacency List）是图的一种链式结构。图中有多少个顶点，就有多少个单链表，每个顶点分别作为每个单链表的头结点，与顶点相连的其余顶点无序地（无特殊的顺序要求）连接在对应的单链表上。
顶点间的关系蕴含在若干个单链表中，因此邻接表图（ALGraph）的结构体只需要包含{每个单链表的头结点（即每个顶点）以及顶点数和边数}。
为了方便管理头结点，我们可以把它们放到一维数组ALs[MaxVNum]中，且该一维数组的功能包含着邻接矩阵图中vexs[MaxVNum]的功能。
*下面将头结点代表的顶点称作起始顶点。
再把注意力放到单链表上，由于起始顶点已经确定，所以与起始顶点相连的每一个顶点都分别对应着一条边，因此我们可以把单链表上的其余结点看作边结点。
边结点需要包含的信息有{边依附的另一个顶点编号（因为顶点放在一维数组ALs[MaxVNum]中，所以顶点v1的编号为0，如此类推）、指向下一个边结点的指针以及边上的权}。
头结点需要包含的信息有{起始顶点的信息、指向下一个边结点的指针}
依据上面的思路，我们一共需要创建三个结构体。
/*邻接表的结构表示*/
typedef struct ArcNode /*边结点*/
{
int anothervex; /*另一个顶点的编号*/
ArcNode *nextarcnode; /*指向下一边结点的指针*/
int weight; /*权*/
};
typedef struct VexNode /*头结点*/
{
VexType data; /*起始顶点的信息*/
ArcNode *nextarcnode; /*指向下一边结点的指针*/
};
typedef struct ALGraph /*邻接表图*/
{
VexNode ALs[MaxInt]; /*头结点数组*/
int vexnum, arcnum; /*顶点数、边数*/
};
写出邻接表图的结构形式后，可以开始往里面放东西了。
下面以“无向图”为例写一下邻接表表示法的使用方法：
<思路>
（1）输入无向图的顶点数和边数；
（2）在一维数组ALs[MaxVNum]中输入起始顶点的信息，并使指针域初始化为NULL，完成各单链表的初始化；
（3）构造邻接表。输入起始顶点va和相邻顶点va的值，以及(va,vb)的权w。
（4）new一个临时边结点tempnode，使tempnode中“另一顶点的编号”为vb的编号，并使其指针指向头结点指针原本指向的“空间”，再令头结点指针指向tempnode，完成tempnode的插入，即完成相邻顶点的连接。
（5）因为这个是无向图，所以我们需要对称地完成起始顶点为vb的单链表的插入。
（6）在达到边数arcnum前循环执行步骤(3)(4)(5)。
int CreatUDG(ALGraph &G)
{ /*下面的代码已经按照<思路>步骤分块喽*/
cin>>G.vexnum>>G.arcnum;
int i, j;
for(i =0; i < G.vexnum; i++)
{
cin>>G.ALs[i].data;
G.ALs[i].nextarcnode = NULL;
}
for(int k = 0; k < G.arcnum; k++)
{
cin>>va>>vb>>w;
i = LocateVex(G, va); j = LocateVex(G, vb);
tempnode1 = new ArcNode;
tempnode1->anothervex = j;
tempnode1->nextarcnode = G.ALs[i].nextarcnode;
G.ALs[i].nextarcnode = tempnode1;
tempnode2 = new ArcNode;
tempnode2->anothervex = i;
tempnode2->nextarcnode = G.ALs[j].nextarcnode;
G.ALs[j].nextarcnode = tempnode2;
}
return 0;
}
邻接表的优缺点：
1）优点：
a. 便于增加和删除顶点。
b. 便于统计边的数量，时间复杂度为O(n+e)。
c. 空间效率高。
2）缺点：
a. 不便于判断顶点间是否有联系。
b. 不便于计算有向图各个顶点的入度，需要遍历其余所有起始顶点的单链表。
对比邻接矩阵与邻接表
1）由上面总结的各自的优缺点可以看出，“我的优点就是你的缺点，and vice versa”。
2）一个图的邻接矩阵唯一，而邻接表不唯一。前面提过，“图中有多少个顶点，就有多少个单链表，每个顶点分别作为每个单链表的头结点，与顶点相连的其余顶点无序地（无特殊的顺序要求）连接在对应的单链表上”，因此每个单链表的链接次序取决于算法以及输入。
3）邻接矩阵和邻接表是图最常用的两种存储结构。（所以“十字链表”和“邻接多重表”暂时就不详细介绍喽_(:з」∠)_）
4）在下一篇将会讲到的“遍历图”中，不论是深度优先搜索还是广度优先搜索，存储结构为邻接矩阵的时间复杂度都为O(n²)，存储结构为邻接表的时间复杂度都为O(n+e)。
十字链表
十字链表（Orthogonal List）是有向图的另一种链式存储结构，可以看作是有向图的邻接表（单链表的结点数-1为出度）与逆邻接表（单链表的结点数-1为入度）结合起来的一种链表。
在十字链表中容易找到以vi（vi∈G(V)）为弧尾或弧头的弧，因而更容易求顶点的入度和出度。
邻接多重表
邻接多重表（Adjacency Multilist）是无向图的另一种链式存储结构。
对无向图而言，邻接表的缺点：每一条边(va,vb)有两个结点，分别在第a和第b个单链表中，这可能会给边的搜索、删除等操作带来了不便。
邻接多重表与邻接表的区别仅在于，同一条边，在邻接表中要用两个结点表示，而在邻接多重表中只需要一个结点。
此外，邻接多重表中增加了标志域用以标记该条边是否被搜索过，避免了同一条边的重复搜索。
路过的圈毛君：“图形结构分三块讲：构造图、遍历图和应用图。本来想一次写完的，无奈精力有限，要做的事比较多.......而且我也差不多该开始护肝了_(:з」∠)_”