1467D. Sum of Paths(妙用dp的含义)

传送门

话说这个$D$好水…

只要提前预处理每个格子被走过的次数$cnt[i]$就好了

$f[i][j]$表示走了$i$步后在点$j$的方案数

由于起点任选那么有$f[0][i]=1$

转移为$f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j+1]$

那么现在考虑求$cnt[i]$,就是格子$i$被经过多少次

不妨枚举格子$i$在第$j$次经过多少次,累加次数

首先$j$步到达格子$i$的方案数是$f[j][i]$,但是到了格子$i$后还有$k-j$步可以延续状态

我们需要知道从格子$i$走$k-j$步的方案数,其实就是$f[k-j][i]$

因为从格子$i$走$k-j$步的方案数等价于走$k-j$步到达格子$i$

这是因为不管最初从哪个点出发走$k-j$步到达$i$,路径的逆过程就是格子$i$走$k-j$步出去

所以枚举$j$累加即可$cnt[i]+=f[j][i]\ast f[k-j][i]$

#include 
using namespace std;
#define int long long
const int mod = 1e9+7;
const int maxn = 5009;
int n,k,f[maxn][maxn],q,a[maxn],cnt[maxn],ans;
signed main()
{
     
	cin >> n >> k >> q;
	for(int i=1;i<=n;i++)	cin >> a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)	f[0][i] = 1;
	for(int i=1;i<=k;i++)
	for(int j=1;j<=n;j++)
	{
     
		if( j==1 )	f[i][j] = f[i-1][j+1];
		else if( j==n )	f[i][j] = f[i-1][j-1];
		else	f[i][j] = ( f[i-1][j-1]+f[i-1][j+1] )%mod;
	}
	//从点i走x步有多少种方案 
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=0;j<=k;j++)
		cnt[i] = ( cnt[i]+f[k-j][i]*f[j][i]%mod )%mod;
	for(int i=1;i<=n;i++)	ans = ( ans+cnt[i]*a[i]%mod )%mod;
	while( q-- )
	{
     
		int i,x; scanf("%lld%lld",&i,&x);
		ans = ( ans-cnt[i]*a[i]%mod )%mod;
		a[i] = x;
		ans = ( ans+cnt[i]*a[i]%mod )%mod;
		printf("%lld\n",(ans+mod)%mod);
	}
}