【Codeforces 1467D】 Sum of Paths | dp、思维

队友太强了呀…

思路一合并，啪就A了呀，很快啊！

题目大意：

定义一条好的路径，当且仅当从任意点出发之后恰好经过了$k$次移动，定义这条路径的权值为经过点权值$a_i$的总和，进行$q$次修改，每次将第$a_k$改为$x$,询问此时所有‘好’路径的权值总和

题目思路：

考虑$n$是$5000$，所以可能要$n^2$预处理

如果把每个位置在多少条路径上算出来，那么对于每次修改就比较好解决了。

所以考虑如何把每个位置在多少条路径上计算出来

首先一个方程
$dp[i][k]=dp[i-1][k-1]+dp[i+1][k-1]$
这个方程的状态为：$dp[i][k]$表示走了$k$步当前在i点的路径总数

那么反过来想，这个$dp[i][k]$也可以表示在$i$点还需要走$k$步能到达任意点的路径总数，就反过来嘛很简单。

所以对于一个点来说，枚举他作为中间点，枚举他作为第$0$步、$1$步、$2$步、$3$步的中间点，所以对于第$i$个点作为路径的总数显然是：
${\sum }_{k=0}^{k=m}dp[i][k]\ast dp[i][m-k]$

然后这问题就解决了…
很自信的终测没结束就写题解，不信还能hack掉

Code:

/*** keep hungry and calm CoolGuang!  ***/
#pragma GCC optimize("Ofast","unroll-loops","omit-frame-pointer","inline")
#pragma GCC optimize(3)
#include 
#include
#include
#include
#include
#include
#define debug(x) cout<<#x<<":"<
#define dl(x) printf("%lld\n",x);
#define di(x) printf("%d\n",x);
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
using namespace std;
const ll INF= 1e17+7;
const ll maxn = 1e6+700;
const ll mod= 1e9+7;
const ll up = 1e13;
const double eps = 1e-9;
template<typename T>inline void read(T &a){
     char c=getchar();T x=0,f=1;while(!isdigit(c)){
     if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(isdigit(c)){
     x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}a=f*x;}
ll n,m,p;
ll a[5005],c[5005];
ll dp[5005][5005];
int main(){
     
	read(n);read(m);read(p);

	for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) dp[i][0] = 1; 
	
	for(int k=1;k<=m;k++)
		for(int i=1;i<=n;i++)
			dp[i][k] = (dp[i-1][k-1] + dp[i+1][k-1])%mod;
	for(int i=1;i<=n;i++){
     
		for(int k=0;k<=m;k++){
     
			c[i] = (c[i] + (dp[i][k]*dp[i][m-k])%mod)%mod;
		}
	}
	ll ans = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++) ans = (ans + (a[i] * c[i])%mod)%mod;
	for(int i=1;i<=p;i++){
     
		ll pos,x;
		read(pos);read(x);
		ans = (ans - (a[pos]*c[pos])%mod + mod)%mod;
		a[pos] = x;
		ans = (ans + (a[pos]*c[pos])%mod)%mod;
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}
/***
2 3
2 3 2
4 5 4 1 5
***/