自适应控制学习——递推最小二乘估计算法的Matlab实现

本人在学习柴天佑老师的自适应控制一书时，在2.3.2参数估计小节遇到了最小二乘法的参数估计，虽然书中给出了详细的推导过程，但是随后的仿真实验中并没有给出详细的代码，亦没有给出很好的解释，只是给出了仿真结果，让人摸不着头脑。在参考了大量资料后，我算是有一点点的理解，趁热打铁，赶忙写下来，也算是自己复习了。
测试使用的时间序列函数为：
y(k)+1.5y(k-1)+0.6y(k-2) = 2u(k-3)-1.4u(k-4)+V(k)
1.构造出输入输出序列y(k) 、u(k)
这种非病态算法 最后肯定会趋向于某个值 所以 k可以取大一些 书中取的是150 这里取400
输出序列u(k) 可以任意给 输出序列y(k)由输入序列决定
2.定义 P 数据向量序列seita 、未知参数序列H
根据下图的算法公式 我们需要先初始化一些向量和矩阵

未知参数H（0）=0
P（0）=10^6I 其中I是单位阵
3.根据公式开始计算
先得到 数据向量序列seita 这里包括 {-y(k-1),-y(k-2),u(k-3),u(k-4)}
因为k-i大于等于0，所以k应从5开始取值 构造出这种结果
过程基本就是这样 matlab代码我会附在结尾处

下面看结果
测试使用的时间序列函数为：
y(k)+1.5y(k-1)+0.6y(k-2) = 2u(k-3)-1.4u(k-4)+V(k)
输出的估计值序列变化过程如下图：

以a0为例 图中红线 基本保持在了 1.5 调出最后一组估计值

a0 = 1.5037
a1 = 0.6052
b0 = 2.0709
b1 = -1.4479
对比实际值
a0 = 1.5
a1 = 0.6
b0 = 2.0
b1 = -1.4
看起来还不错^_
改变a0的值为1.0 看是否可以继续估计成功

红线是a0的估计值 看起来也还行 调出最后一组数据
a0 = 1.0286
a1 = 0.6305
b0 = 1.9105
b1 = -1.3208
对比实际值
a0 = 1.0
a1 = 0.6
b0 = 2.0
b1 = -1.4
也算是基本保持跟随了

好了 基本情况就是这样了 如有错误 请大家批评我！
附代码：(我不知道如何插入matlab的代码 就用C的格式了)

```%递推最小二乘辨识算法仿真   
%测试使用的时间序列函数为： y(k)+1.5y(k-1)+0.6y(k-2) = 2u(k-3)-1.4u(k-4)+V(k)
%待估计量 1.5 0.6 2 -1.4
%y(k) = -1.5y(k-1)-0.6y(k-2)+2u(k-3)-1.4u(k-4)+V(k)
%阶数 Na = 2 Ma = 4
%先产生出 y()  u()   u未知  是一个行向量
clear
clc
x = [0 1 0 1 1 0 1 1 1];
k = 400;    
num = 4;
u = [];                  
for i=1:k
    temp = xor(x(4),x(9));
    u(i) = x(9);
    for j = 9:-1:2
        x(j) = x(j-1);
    end
    x(1) = temp;
end                      %此处的目的是产生一个无规则的向量  可以任意赋值  此处参考了网上的一种做法
v = randn(1,400);
y = zeros(400,1);
y(1) = -1;
y(2) = 0;
y(3) = -1;
y(4) = 0;
y(5) = 0;
for i=5:k
y(i) = -1.0*y(i-1)-0.6*y(i-2)+2*u(i-3)-1.4*u(i-4)+v(i);
end
%y(k) = -1.5y(k-1)-0.6y(k-2)+2u(k-3)-1.4u(k-4)+V(k)
%y序列 和 u序列 完成后  开始写
%还需要3个向量
%P  Seita Data
P = (10^6)*eye(num);
P_temp = zeros(num,k);
P_temp(:,4) = 10^6;%P_temp = {
      P(1) P(2) P(3).....}
Data = zeros(num,k);%估计值序列 = {
     Data(1) Data(2) Data(3) ......}
seita = zeros(num,1);
for i = 5:k
    for j = 1:2
        seita(j) = -y(i-j);
    end
    for l = 3:4
        seita(l) = u(i-l);
    end  %h完毕
    K = (P*seita)/(seita'*P*seita+1);
    Data(:,i) = Data(:,i-1) + K*[y(i)-seita'*Data(:,i-1)];
    P = (eye(4)-K*seita')*P; %新的P
   % for kk = 1:4
  %      P_temp(kk,i-1) = P(kk,kk);
 %   end
end
d1 = Data(1,:);
d2 = Data(2,:);
d3 = Data(3,:);
d4 = Data(4,:);

i = 1:k;
plot(i,d1,'r');
title('辨识结果');
hold on;
plot(i,d2,'b');
hold on;
plot(i,d3,'g');
hold on;
plot(i,d4,'y');
hold on;
legend('a0','a1','b0','b1');
a0 = Data(1,k);
a1 = Data(2,k);
b0 = Data(3,k);
b1 = Data(4,k);
a0
a1
b0
b1