矩阵分析及其应用

 我在网上看过一个帖子，帖子说一个人电话面试，面试官让他写个程序，解决一个数开根号的问题。这个人马上利用牛顿法写了一个程序，结果面试官竟然没看懂，并且说为什么不用二分法？？我心里一惊，这面试官街上捡来的吧？？著名的牛顿法都不知道，二分法和牛顿法的时间复杂度能比吗？？

 这里我仅仅想通过牛顿法引出这一节我想讲的知识。以我的理解，牛顿法和高等数学中的泰勒展开式由异曲同工之妙，两者相差不大，说实在话，我真的佩服泰勒，泰勒展开式解决了多少工程上的难题，而这一章就是为泰勒展开式在矩阵方面服务的。

1.矩阵序列

 

既然有了矩阵的收敛定义，我们就面临的就是怎么来判断矩阵序列收敛？？利用定义当然可以，但

是过于繁琐，所以我们希望 找到简单的定理来判断。

  既然有了矩阵序列这个东西，我们就要探讨一下，矩阵序列有什么用了？？它可以求方阵的逆，在

范数这章我说过，对于矩阵 求逆而言，存在两个问题：1.计算量大；2.存在病态，所以我们在工程上

 一般不采用伴随矩阵的方法来求矩阵的逆，不用这种方法怎么求呢？？

 

利用上面定理求矩阵的逆是有条件的，该矩阵是收敛阵，至于怎么判断一个矩阵收敛，上文已经说过了，

只要该矩阵收敛， 就可以在允许的误差下，利用求级数和的方式求矩阵逆。

2.矩阵函数

讲到这里我想讲一个实际的例子来展示矩阵函数的作用，我们知道方程在研究卡尔曼滤波时，我们常常

需要离散的状态方程，但是我们在建模的时候得到的都是连续方程，怎么将连续方程进行离散化，这是一门

学问，而对于连续状态方程的精确解经常与有关，怎么求解？？在实际的工程中就是利用

矩阵函数的定义，取前k项作为该矩阵函数的解，最后得到离散方程。当然对状态方程进行离散化的方法很多，

这仅仅是其中的一种。

 既然存在矩阵函数，我们肯定希望对于每个矩阵A，得到函数值f(A),怎么求函数函数值？？在书上讲了三种

方法，但是这里我就讲一种待定系数法，因为这种方法是万能的，其他两种有缺陷，有些情况不能用。

待定系数法是建立在最小多项式的基础上，也是考研的时候线性代数经常考一个知识点。

而最小多项式也能使D(A)=0,但是多项式的最高次数小于或等于特征多项式的最高次数。如此，对于任意一个

任意一个矩阵函数都存在如下等式：

所以我们只要知道r(A)就知道f(A)的函数值，故我们最后的目的就是求r(A),多于r(A)多项式的最高次数我们已经

知道，因此可以通过待定系数的方法求出多项式的系数。最终得到函数值，下面我通过该方法解一道题，你们

对这种方法就了解了。

上述就是求解矩阵函数值的过程，可能讲的不清楚，所以做一道题来说明。

矩阵函数的应用

 矩阵函数的应用就是我前面介绍的解微分方程，齐次和非齐次微分方程都能解，如果看不懂它的推导过程，记住

公式就可以了，推导过程比较繁琐，不太想讲，方程如下：

待续