数学与泛型编程（7）置换算法

数学与泛型编程   https://blog.csdn.net/nameofcsdn/article/details/110448717

 

一，映射、变换、置换

1，映射

集合A到集合B可以定义一个映射。

映射根据是否是单射，是否是满射，可以分为非单非满映射、单射非满射、满射非单射、一一映射四种。

2，变换

集合A到自身的映射，叫做变换。

很自然的就有集合A上的单射变换、满射变换和一一变换。

一一映射、一一变换、恒等映射、恒等变换都是一个意思。

3，置换

如果A是有限集合，那么A上的变换叫做置换。

标准记法：

简化记法：

 

二，变换群、置换群、对称群（全置换群）

1，变换群

由若干变换为元素，复合作为运算的群，叫做变换群。

2，置换群

由若干置换为元素，复合作为运算的群，叫做置换群。

3，对称群（全置换群）

由n个元素的全部置换所构成的群，称为对称群Sn，也叫全置换群。

根据定义，对称群具备下列属性：

二元运算：复合（composition，该运算具备结合性）

取逆运算：逆置换（inverse permutation）

单位元素：恒等置换（identity permutation）

 

三，凯莱定理

凯莱定理：凡是元素个数为n的群，都与对称群Sn的某子群同构。

// TODO：这个定理的证明没怎么研究。

 

四，换位

换位，是交换第i与第j个元素（i≠j），并保持其余元素不动的置换。

C++中的交换swap和换位意思差不多。