图像的采样和量化（二维DFT公式详细推导）

最近复习图像和视频处理课，好多基础推导都不能得心应手，复习进度相当缓慢，过程异常痛苦。图像的二维傅里叶变换的公式始终没成功推出来，执着地僵持了很久，于是成此文。

数字图像（M行*N列）是二维离散信号，可以认为是从一维离散时间信号（也就是 序列）的推广。

(一)二维脉冲阵列信号的FT

考虑二维脉冲阵列信号：

$$p(x,y)=\sum _{k=0}^{M-1}\sum _{l=0}^{N-1}\delta (x-k\Delta x,y-l\Delta y)\text{\hspace{1em}(1)}$$
k,l只是序号，实际上$x$只能取离散值$k\Delta x$, $y$只能取$l\Delta y$.
$\Delta x,\Delta y$分别是图像在空域x和y方向的采样间隔。而$\frac{1}{\Delta x},\frac{1}{\Delta y}$是频域u和v方向的采样率.

显然，
$$p(x,y)=\delta (x,y)+\delta (x,y-\Delta y)+\cdots +\delta (x,y-(N-1)\Delta y)$$
$$+\delta (x-\Delta x,y)+\delta (x-\Delta x,y-\Delta y)+\cdots +\delta (x-\Delta x,y-(N-1)\Delta y)+$$
$$\cdots$$
$$+\delta (x-(M-1)\Delta x,y-(N-1)\Delta y)\text{\hspace{1em}(2)}$$
所以它是M*N的阵列，每个点的值都是1 .

对（1）做二维FT：（关于二维傅里叶变换公式，移步这里.）
$$P(u,v)=\frac{1}{\Delta x}\frac{1}{\Delta y}\sum _{k=0}^{M-1}\sum _{l=0}^{N-1}p(x,y)e^{-j2\pi (uk\Delta x+vl\Delta y)}=\text{\hspace{1em}(3)}$$
直接把（1）进来：

$$\frac{1}{\Delta x}\frac{1}{\Delta y}\sum _{k=0}^{M-1}\sum _{l=0}^{N-1}\sum _{k=0}^{M-1}\sum _{l=0}^{N-1}\delta (x-k\Delta x,y-l\Delta y)e^{-j2\pi (uk\Delta x+vl\Delta y)}=\text{\hspace{1em}(4)}$$

由冲激函数的抽样性，只有当$x=k\Delta x,y=l\Delta y$时冲激函数取值为1，则：
$$\frac{1}{\Delta x}\frac{1}{\Delta y}\sum _{k=0}^{M-1}\sum _{l=0}^{N-1}{e}^{-j2\pi (xu+yv)}=\text{\hspace{1em}(5)}$$
由于$x=k\Delta x,y=l\Delta y$，所以：
$$\frac{1}{\Delta x}\frac{1}{\Delta y}\sum _{k=0}^{M-1}\sum _{l=0}^{N-1}{e}^{-j2\pi (k\Delta xu+l\Delta yv)}=\text{\hspace{1em}(6)}$$
由于指数的括号里面的值一定是整数 ，所以${\sum }_{k=0}^{M-1}{\sum }_{l=0}^{N-1}{e}^{-j2\pi (k\Delta xu+l\Delta yv)}$就是M*N个1，于是可以写成：
$$\frac{1}{\Delta x}\frac{1}{\Delta y}\sum _{k=0}^{M-1}\sum _{l=0}^{N-1}\delta (u-\frac{k}{\Delta x},v-\frac{l}{\Delta y})\text{\hspace{1em}(7)}$$

其实（6）—(7) 的过程我不是特别明白，没完全想清楚，如有读者清楚欢迎在评论区说明，谢谢啦。

（二）图像的采样和重建

对图像采样就是原始信号$f(x,y)$与采样脉冲序列$p(x,y)$相乘。
$$f_s(x,y)=f(x,y)p(x,y)$$
那么在频域就有:
$$F_s(u,v)=\frac{1}{2\pi }F(u,v)\ast P(u,v)=$$
$$\frac{1}{2\pi }F(u,v)\ast [\frac{1}{\Delta x}\frac{1}{\Delta y}\sum _{k=0}^{M-1}\sum _{l=0}^{N-1}\delta (u-\frac{k}{\Delta x},v-\frac{l}{\Delta y})]=$$
$$\frac{1}{2\pi }\frac{1}{\Delta x}\frac{1}{\Delta y}\sum _{k=0}^{M-1}\sum _{l=0}^{N-1}F(u-\frac{k}{\Delta x},v-\frac{l}{\Delta y})$$

根据Nyquist定理，只要有
$$\frac{1}{\Delta x}\ge 2U_{max},\frac{1}{\Delta y}\ge 2V_{max}$$
原始的模拟信号就可以从采样得到的数字图像中完美重建。

而在实际中，重构是利用低通滤波器实现的。如下图，原始模拟信号经过采样，频谱延拓并周期性重复，用LowPass filter滤出一个完整频谱即可。