Wolfe
准则Wolfe
准则是指: 给定 ρ∈(0,0.5) , σ∈(ρ,1) ,求 αk 使得下面两个不等式同时成立:
式(2)有时也用另一个更强的条件
Wolfe
准则。
强Wolfe
准则表明, 由该准则得到的新的迭代点 xk+1=xk+αkdk 在 xk 的某一邻域内且使目标函数值有一定的下降量.
由于 gTkdk<0 ,可以证明Wolfe 准则的有限终止性, 即步长 αk 的存在性. 我们有下面的定理.
设 f(x) 有下界且 gTkdk<0 , 令 ρ∈(0,0.5) , σ∈(ρ,1) . 则存在一个区间 [a,b](0<a<b) , 使每个 α∈[a,b] 均满足(1) 和(3).
Armijo
准则Armijo 准则是指: 给定 β∈(0,1) , σ∈(0,0.5) . 令步长因子 αk=βmk ,其中 mk 是满足下列不等式的最小非负整数:
Armijo
准则是有限终止的, 即存在正数
σ , 使得对于充分大的正整数
m , (4) 式成立.
为了程序实现的方便, 我们将Armijo 准则写成下列详细的算法步骤.
步0 给定 β∈(0,1) , σ∈(0,0.5) . 令 m=0 .
步1 若不等式
步2 令 m=m+1 , 转步1.
下面给出Armijo 准则的Matlab 程序
Armijo 搜索规则是许多非线性优化算法都必须执行的步骤, 把它编制成可重复利用的程序模块是很有意义的.
amj.m
function [mk,newxk,newfk]=amj(xk,dk,beta,sigma)
%%Armijo 搜索规则
%input:xk,dk;
% beta,sigma
%output:mk,xk+1,f(xk+1)
m=0;maxm=20;
while(m<=maxm)
if(fun(xk+beta^m*dk)<=fun(xk)+sigma*beta^m*gfun(xk)'*dk)
mk=m;break;
end
m=m+1;
end;
alpha=beta^mk;
newxk=xk+alpha*dk;
fk=fun(xk);
newfk=fun(newxk);
%fun为输入函数,gfun为对应梯度函数,均在别处定义
fum.m
function f = fun(x)
f=100*(x(1)^2-x(2))^2+(x(1)-1)^2;
gfun.m
function gf =gfun(x)
gf=[400*x(1)*(x(1)^2-x(2))+2*(x(1)-1);
-200*(x(1)^2-x(2))];
>> xk=[-1,1]';
>> dk=[1,-2]';
>> beta=0.5;
>> sigma=0.2;
>> [mk,newxk,newfk]=amj(xk,dk,beta,sigma)
mk =
2
newxk =
-0.75
0.5
newfk =
3.453125