最小生成树之克鲁斯卡尔(Kruskal)算法
克鲁斯卡尔(Kruskal)算法(加边法)：
基本思想：按照权值从大到小的顺序选择 n - 1 条边，并保证这 n - 1 条边不构成回路
克鲁斯卡尔算法需重点解决两个问题：
1、对图的所有边按照权值的大小进行排序
解决：采用排序算法排序即可
2、将边添加到最小生成树中时，怎样判断是否形成了回路
解决：加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则会形成回路(终点定义：将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后，某个顶点的终点就是与它连通的最大顶点)
比如：在第三步后面不能加入
第一步：选取边
第二步：选取边
第三步：选取边
第四步：选取边
第五步：选取边
第六步：选取边
（n个顶点的最小二叉树一共有n - 1条边）
判断是否有环：
克鲁斯卡尔算法实质上是使生成树以一种随意的方式生长，初始时每个顶点构成一棵生成树，然后每生长一次就将两棵树合并，到最后合并成一棵树。
因此，可以设置一个数组parent[n]，元素parent[i]表示顶点 i 的双亲结点，初始时，parent[i] = -1, 表示顶点 i 没有双亲，即该结点是所在生成树的根结点；对于边
代码实现：
public class Kruskal {
public static void main(String[] args) {
char[] vertexs = {
'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
final int N = 10000;//用10000表示两个结点之间不能连接，或者也可以用Integer.MAX_VALUE
int[][] weight = {
{
N, 12, N, N, N, 16, 14},
{
12, N, 10, N, N, 7, N},
{
N, 10, N, 3, 5, 6, N},
{
N, N, 3, N, 4, N, N},
{
N, N, 5, 4, N, 2, 8},
{
16, 7, 6, N, 2, N, 9},
{
14, N, N, N, 8, 9, N}};
MGraph graph = new MGraph(vertexs, weight);
Edge[] edges = graph.getEdges();
graph.show(edges);
System.out.println("排序后：");
graph.sort(edges);
graph.show(edges);
System.out.println("最小生成树为：");
graph.kruskal(edges);
}
}
class MGraph {
char[] vertexs;//记录各个结点的值
int[][] weight;//记录邻接矩阵
int numOfVertexs;//记录结点的个数
int numOfEdges = 0;//记录边的个数
public MGraph(char[] vertexs, int[][] weight) {
this.vertexs = vertexs;
this.weight = weight;
this.numOfVertexs = vertexs.length;
for(int i = 0; i < numOfVertexs; i++){
for(int j = i + 1; j < numOfVertexs; j++){
//注意是 j = i + 1，因为无向图是对称的，只需要记录一次边的个数即可
if(weight[i][j] != 10000){
numOfEdges++;
}
}
}
}
public Edge[] getEdges(){
Edge[] edges = new Edge[numOfEdges];
int index = 0;
for(int i = 0; i < numOfVertexs; i++){
for(int j = i + 1; j < numOfVertexs; j++){
//注意是 j = i + 1，因为无向图是对称的，只需要记录一次边的个数即可
if(weight[i][j] != 10000){
edges[index++] = new Edge(vertexs[i], vertexs[j], weight[i][j]);
}
}
}
return edges;
}
public void sort(Edge[] edges){
for(int i = 0; i < edges.length - 1; i++){
for(int j = 0; j < edges.length - i - 1; j++){
if(edges[j].weight > edges[j + 1].weight){
Edge temp = edges[j];
edges[j] = edges[j + 1];
edges[j + 1] = temp;
}
}
}
}
public void kruskal(Edge[] edges){
//元素parent[i]表示顶点 i 的双亲结点
//初始时，parent[i] = -1, 表示顶点 i 没有双亲，即该结点是所在生成树的根结点
int[] parent = new int[numOfVertexs];
for(int i = 0; i < numOfVertexs; i++){
parent[i] = -1;
}
for(int i = 0, num = 0; i < numOfEdges; i++){
int vertex1 = findRoot(parent, edges[i].from);//得到所在生成树的根结点
int vertex2 = findRoot(parent, edges[i].to);//得到所在生成树的根结点
if(vertex1 != vertex2){
//找到两个根结点不同，则不会构成环
System.out.println(edges[i]);
parent[vertex2] = vertex1;//合并生成树
num++;
if(num == numOfVertexs - 1){
//循环了"图的顶点数 - 1"次，结束循环
return;
}
}
}
}
public int findRoot(int[] parent, char v){
int temp = getIndexOfVertex(v);
while(parent[temp] != -1){
temp = parent[temp];
}
return temp;
}
public int getIndexOfVertex(char c){
//得到某个顶点对应的下标
for(int i = 0; i < numOfVertexs; i++){
if(vertexs[i] == c){
return i;
}
}
return -1;
}
public void show(Edge[] edges){
for(int i = 0; i < edges.length; i++){
System.out.println(edges[i]);
}
}
}
class Edge{
char from;//边的起始顶点
char to;//边的终止顶点
int weight;//边的权值
public Edge(char from, char to, int weight){
this.from = from;
this.to = to;
this.weight = weight;
}
@Override
public String toString() {
return "Edge{" + "from=" + from + ", to=" + to + ", weight=" + weight + '}';
}
}