欧几里得算法和扩展的欧几里得算法C++递归实现

欧几里得算法和扩展的欧几里得算法C++递归实现

关于欧几里得算法的流程不再赘述，不清楚的可以搜得到。本篇主要通过C++代码利用递归的思想实现，参考书籍是《密码编码与信息安全:C++实践》。

1、欧几里得算法实现

欧几里得算法比较简单，主要用于求两个数(多项式)的最大公因数(式)，直接上代码。

#include 
using namespace std;
int Euclidean(int a, int b){
	if(b==0){
		return a;
	}else{
		return Euclidean(b, a%b);
	}
}

2、扩展的欧几里得算法实现

扩展的欧几里得算法主要用于求模逆运算。我第一次实现扩展的欧几里得算法是通过辗转相除，然后再回溯求出了$a$和$b$的系数。感觉可以像普通欧几里得算法一样可以递归编程，但是总是没想出来。后来借助参考书实现了。主要思想是要写出此时的递推关系式。

2.1递推关系式的说明

扩展欧几里得算法本质上是要求得
$$a\times s+b\times t=gcd$$
这个式子。按照递归的思想，我们应该这么考虑：要利用递归得到$a$和$b$的式子，结合辗转相除的原理，我们肯定是先得到$b$和$a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$的关系式。假设已经有了
$$s^{\prime }\times b+t^{\prime }\times (a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b))=gcd$$

如何得到我们需要的式子？

做一个简单的变形就出来了：我们知道$a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)=a-\lfloor a/b\rfloor \ast b$，代进上式，有
$$\begin{gathered} s^{\prime }\times b+t^{\prime }\times (a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b))=s^{\prime }\times b+t^{\prime }\times (a-\lfloor a/b\rfloor \ast b) \\ =t^{\prime }\times a+(s^{\prime }-t^{\prime }\times \lfloor a/b\rfloor )\times b=gcd \end{gathered}$$
所以递归就是根据这个式子编出的。具体代码如下：

#include 
using namespace std;
struct ExtEuc
{
	int gcd;
	int s;
	int t;
};
//the most important is the "recursion formula"，espeacially in Extends_Eclidean
ExtEuc Extends_Eclidean(int a, int b){
	ExtEuc obj, obj1;
	if(b == 0){
		obj1.gcd = a;
		obj1.s = 1;
		obj1.t = 0;
		return obj1;
	}
	obj1 = Extends_Eclidean(b, a%b);
	//attention!!
	obj.gcd = obj1.gcd;
	obj.s = obj1.t;
	obj.t = obj1.s - (a/b)*obj1.t;
	return obj;
}

3、整体代码如下

#include 
using namespace std;
struct ExtEuc
{
	int gcd;
	int s;
	int t;
};

//the most important is the "recursion formula"，espeacially in Extends_Eclidean
int Euclidean(int a, int b){
	if(b==0){
		return a;
	}else{
		return Euclidean(b, a-(a/b)*b);
	}
}

ExtEuc Extends_Eclidean(int a, int b){
	ExtEuc obj, obj1;
	if(b == 0){
		obj1.gcd = a;
		obj1.s = 1;
		obj1.t = 0;
		return obj1;
	}

	obj1 = Extends_Eclidean(b, a%b);
	//attention!!
	obj.gcd = obj1.gcd;
	obj.s = obj1.t;
	obj.t = obj1.s - (a/b)*obj1.t;
	return obj;
	
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
	/* code */
	ExtEuc f = Extends_Eclidean(2,3);
	cout<

[1] 王静文, 吴晓艺. 密码编码与信息安全:C++实践[M]. 清华大学出版社, 2015.