ACM Weekly 8 （待修改）

涉及的知识点

第八周的练习主要涉及前缀和、差分、RMQ问题（基于ST表）、树状数组

拓展：线段树

前缀和

前缀和基本定义：一个数组某项下标之前（包括此元素）的所有数组元素和
前缀和在输入时便可以在线处理数据，之后在查询区间和时，可以很快地得到两个下标间的区间和。

一维

由定义，$pre[n]={\sum }_{i=0}^{n}value[i]$，n为定义中的下标，
元素的递推式为$pre[n]=pre[n-1]+value[n]$。

代码实现

int value[10000],pre[10000]
for(int i=1;i<=N;i++)
{
     
	cin >>value[i];
	pre[i]=pre[i-1]+value[i];
}
for(int i=1;i<N;i++)
	cout <<pre[i]<<" ";

二维

由定义，$pre[n][m]={\sum }_{i=0}^n{\sum }_{j=0}^m$，n、m为定义中的下标
元素的递推式为$pre[n][m]=pre[n-1][m]+pre[n][m-1]-pre[n-1][m-1]+value[n][m]$。

代码实现

int value[10000][10000],pre[10000][10000];
for(int i=1;i<=N;i++)
	for(int j=1;j<=M;j++)
		{
     
			cin >>value[i][j];
			pre[i][j]=pre[i-1][j]+pre[i][j-1]-pre[i-1][j-1]+value[i][j];
		}
for(int i=1;i<=N;i++)
	for(int j=1;j<=M;j++)
		cout <<pre[i][j]<<" ";

差分

差分基本定义：对于一个数组中的某个元素，其差分为自身与先前一个元素的差，当然该元素不能为首个元素，定义首个元素的差分为1。

一维

由定义，$differ[i]=value[i]-value[i-1]$
对于一个一维序列进行区间操作，可以通过差分记录下每次操作，最后一次性进行所有操作，与前缀和结合，差分较难理解的便是操作时序列的首项+k(k为操作数，也可以为-k)，末项的后一项-k（或+k）。

代码实现

int l,R,k;
cin >>l>>r>>k;
differ[l]+=k;
differ[r+1]-=k;
int add=0;
for(int i=1;i<=N;i++)
{
     
	add+=differ[i];//注意，当到达r+1时，add正好由k变为0
	value[i]+=value[i-1]+add;
}

二维

方法和一维类似，只不过需要记下四个位置对应的操作。

代码实现

while(m--)
{
     
	int x1,y1,x2,y2,k;
	cin >>x1>>y1>>x2>>y2>>k;
	differ[x1][y1]+=k;
	differ[x2+1][y2+1]+=k;
	differ[x2+1][y1]-=k;
	differ[x1][y2+1]-=k;
}

RMQ问题（基于ST表）

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，该算法用较长时间预处理（$O(n\log n)$），之后在$O(1)$内处理查询。

在RMQ算法中，使用一个二维数组$dp[][]$记录划分区间的最大/小值，在存储的时候采用二分的方法，即每次存储的是一个大区间的两个平分后的子区间，如$dp[i][j]$表示从序号i开始连续$2^j$个数的最小值。

求$dp[i][j]$时可以采用二分的方法，即求$dp[i][j-1]$和$dp[i+2^{j-1}][j-1]$两个区间的最小值，前者为从$i\to i+2^{j-1}-1$，后者为$i+2^{j-1}\to i+2^j-1$。

那么，状态转移方程就可以写出：

$dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+1<<(j-1)][j-1])$

具体的代码实现如下：

void RMQ()
{
     
	for(int i=1;i<=N;i++)//初始化
		dp[i][0]=arr[i];
	for(int j=1;(1<<j)<=N;j++)//j取1、2、4...，步长
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=N;i++)
        //第一次更新0~1、1~2，之后j移位，第二次更新0~2，2~4，以此类推
            dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<j-1)][j-1]);

树状数组

难题解析

拓展

线段树

线段树是一棵完美二叉树，树上每个节点维护一个区间，根维护整个区间，每个节点维护的是父节点的区间二分后的子区间之一，根据节点中维护的数据不同，线段树可提供不同功能，下面以RMQ为例

代码实现

#define MAX (1<<18)-1;
int N=1,dat[MAX];//存储线段树的全局数组
void init(int _N)//简单起见，将元素个数扩大到2的幂
{
     
	while(N<_N)N<<=1;
	for(int i=0;i<(N<<1)-1;i++)//设置所有值为INT_MAX
		dat[i]=INT_MAX;
}
void updata(int id,int a)
{
     
	id+=N-1;//叶结点
	dat[id]=a;
	while(id)//向上更新
	{
     
		id=(id-1)>>1;
		dat[id]=min(dat[(id<<1)+1],dat[(id<<1)+2]);
	}
}

参考文献

1. 前缀和与差分
2. 前缀和、二维前缀和与差分的小总结
3. 前缀和、差分
4. RMQ算法讲解
5. 《挑战程序设计竞赛》