软件测试（第2版）_Paul学习04_01——Ch3测试人员的离散数学

除了其他生命周期活动外，测试本身还要进行数学描述和分析。这里给出的数学方法就是工具，测试工程师应该清楚地了解如何使用这些工具。通过这些工具，测试人员会变得严格、精确和高效，所有这些都会改进测试。一般来说，离散数学更适用于功能性测试，而图论更适合结构性测试。本章只讨论离散数学，主要包括集合论、函数、关系、命题逻辑和概论的一些基本内容，如需深入研究和学习还需参考专门的资料。

3.1 集合论

关于集合没有一个严格和精确的定义，可理解为一个包含了一些元素的整体。比如M1 = {4月，6月，9月，11月}，表示"M1是元素为4月、6月、9月、11月的集合"

集合成员关系：集合中的项叫做集合的元素或成员，这种关系适用符号∈表示，比如4月∈M1，12月∉M1

集合的定义方式：

• 简单列出集合的元素，Y={1812,1813，……，2011,2012}
• 给出决策规则，Y={年：1812≤年≤2012}

  采用决策规则的优点是：无歧义要求使定义很清晰。有经验的tester都经历过"不可测试的需求。"很多时候出现这种情况的原因是：这种不能测试的需求来源于歧义的决策规则。第二个优点：利于适用决策表进行分析和设计。

  采用决策规则的缺点：有可能在逻辑上太复杂。

• 通过其他集合构建。

韦恩（Venn）图：也叫文氏图，用于显示元素集合重叠区域的图示，集合被表示为一个圆圈，圆圈中的点表示集合元素。

有30天的月份集合的韦恩图

 

集合操作：

A∩B = {x：x∈A ∧ x∈B}

A∪B = = {x：x∈A ∨ x∈B}

A' = {x：x∉A}

A - B = {x：x∈A ∧ x∉B}

A⊕B = {x：x∈A ⊕ x∈B}

A⊕B = （A∪B）- （A∩B）

 

无序对偶：（a，b）

有序对偶：

两者的差别是，对于a≠b，（a，b）=（b，a），但是≠

 

两个集合的笛卡尔积，是集合A×B = {：x∈A ∩ y∈B}

 

集合关系：

A是B的子集，A⊆ B

A是B的真子集，A⊂B

A和B是相等集合，A=B

 

子集的划分

集合的一个划分是一种非常特殊的情况，对于测试人员非常重要。"划分"的含义是将一个整体分成小块，使得所有事物都在某小块中，不会遗漏。

定义：

给定集合B，以及B的一组子集A1、A2、……、An，这些子集是B的一个划分，当且仅当：A1∪A2∪…∪An = B，且i≠j → Ai∩Aj = ∅

划分的韦恩图

第一部分保证B的所有元素都在某个子集中

第二部分保证B没有元素在两个子集中

划分对测试人员很有用，因为两个界定性质会产生重要保证：完备性和无冗余性。当研究功能性测试时，我们会看到功能性测试的固有弱点是漏洞和冗余性：有些内容没有被测试，而另外一些内容被测试多次。

功能性测试的主要困难之一，就是找出合适的划分。

例如：三角形问题的划分

1. 三角形和非三角形
2. 等边三角形、等腰三角形、不等边三角形和非三角形
3. 等边三角形、等腰三角形、不等边三角形、直角三角形和非三角形

   初看起来这些划分没有问题，但是仔细研究会发现最后一个划分有一个问题，即不等边三角形和直角三角形并不是不想交的。也就是不满足第二部分保证：i≠j → Ai∩Aj = ∅

   集合恒等式：

   名称	表达式
   等同律	A∪∅=A
   	A∩U=A
   支配律	A∪U=U
   	A∩∅=∅
   幂等律	A∪A=A
   	A∩A=A
   求反律	（A'）'=A
   交换律	A∪B=B∪A
   	A∩B=B∩A
   结合律	A∪（B∪C）=（A∪B）U C
   	A∩（B∩C）=（A∩B）∩C
   分配率	A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）
   	A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）
   迪摩根定律	（A∪B）' = A'∩B'
   	（A∩B）' = A'∪B'

    

   3.2 函数

   函数是软件开发和测试的核心概念。例如，整体功能分解范例就隐含使用了函数的数学概念。所有的功能性测试的基础都是函数。

   定义：给定集合A和B，函数f是A×B的一个子集，使得对于ai、aj∈A，Bi、Bj∈B，f（ai）=bi，f（aj）=bj，定义域A，值域B。

   函数的类型：

   上函数：f是A到B的上函数，当且仅当f（A）= B

   中函数：f是A到B的中函数，当且仅当f（A）⊂B

   一对一函数：……

   多对一函数：……

   函数的合成：

   h。g。f（a）= h（g（f（a）））

   = h（g（b））

   = h（c）

   = d

    

   函数合成链对于测试人员可能是一个问题，尤其是当一个函数的值域是函数合成链"下一个"函数定义域的真子集时。

   

   数据流图中的因果流和非因果流

   3.3 关系

   集合之间的关系：

   定义：给定两个集合A和B，关系R是笛卡尔积A×B的一个子集。

   定义：给定两个集合A和B，一个关系，关系R的势是：

   一对一势，当且仅当R是A到B的一对一函数

   多对一势，当且仅当R是A到B的多对一函数

   一对多势，当且仅当至少有一个元素a∈A在R中至少有两个有序对偶

   多对多势，当且仅当至少有一个元素a∈A在R中至少有两个有序对偶，且至少有一个元素b∈B在R中至少有两个有序对偶

    

   定义：给定两个集合A和B，一个关系，关系R的参与是：

   全参与，当且仅当A中的所有元素都在R的某个有序对偶中

   部分参与，当且仅当A中有元素不在R的有序对偶中

   上参与，当且仅当B中的所有元素都在R的有序对偶中

   中参与，当且仅当B中有元素不在R的有序对偶中

    

   测试人员需要关心关系的定义，因为关系的定义直接与被测软件性质有关。例如，上参与/中参与的差别，直接与我们称之为基于输出的功能性测试有关。

   单个集合上的关系：

   我们使用两种重要的数学关系，即排序关系和等价关系。

   定义：设A是一个集合， 是定义在A上的一个关系，、、、、∈R，关系具有四个特殊属性：

   关系是：

   自反的，当且仅当所有a∈A，∈R

   对称的，当且仅当∈R ∈R

   反对称的，当且仅当∈R 、∈Ra=b

   传递的，当且仅当、∈R ∈R

    

   关系是排序关系，如果R是自反、反对称和传递的。

   排序关系在软件中很常见：数据访问手段、杂凑代码、树形结构和数组，都利用了排序关系。

    

   关系是等价关系，如果R是自反、对称和传递的

    

   如果从定义在一个集合上的等价关系开始，则可以根据与该等价关系相关的元素定义子集。这就是划分，叫做由等价关系归纳的划分。这种划分中的集合叫做等价类。最终结果是划分和等价关系可以相互交换，而这一点对于测试人员来说是很重要的概念。划分有两个性质，即完备性和无冗余性。将这些性质带到测试领域中，可使测试人员做出关于软件已经测试的广度的有力、绝对的说明。不仅如此，只测试等价类中的一个元素，并假设剩余的元素有类似的测试结果，可大大提高测试效率。

   与关系相关的测试方法：等价类

   3.4 命题逻辑

   （1）命题，真、假

   （2）逻辑操作符，与∧或∨非，如果-则（IF-THEN）（→）

   （3）逻辑表达式，真值表

   p	q	p→q	q→p	(p→q)∧(q→p)	￢((p→q)∧(q→p))
   1	1	1	1	1	0
   1	0	0	1	0	1
   0	1	1	0	0	1
   0	0	1	1	1	0

    

   逻辑等价：

   定义：两个命题p和q是等价的（记做），当且仅当其真值表相同。

   定义：永远为真的命题是重言式，永远为假的命题是矛盾式

   与命题逻辑相关的测试方法：决策表

   3.5 概率论

   在研究软件测试时，有两种情况需要使用概率论，一是研究语句执行特定路径的概率，二是将其泛化为叫做操作剖面的流行行业概念。

   定义：结果可能性相等的有限样本空间S中的时间E的概率，是p（E）=|E|/|S|

   总结

   本章只是简单介绍了功能性测试用到的数学基本概念，要很好的在实践中从容应用，还需根据实际需要深入研究。就本章来说，是在本人看过的所有软件测试书籍中唯一一本讲了数学基础的书籍，有一种突然为软件测试找到了理论基础和数学支撑的"踏实感"，因为有了这些软件测试再也不是一门简单随意的行业。