统计科学之讲讲什么是自由度

我们在前面的方差分析中有提过一个概念就是自由度，在前面文章中给了一个计算就是自由度=样本数-1。这一篇就来具体聊聊什么是自由度。

先来看看百度百科的解释：

自由度(degree of freedom, df)指的是计算某一统计量时， 取值不受限制的变量个数。通常df=n-k。其中n为样本数量，k为被限制的条件数或变量个数。

上面加粗的部分其实就是关于自由度的核心解释了。再给大家举个例子：

假设现在有三个变量x1、x2、x3，且这三个变量之间没有任何联系，那么这三个变量的取值都是独立的、不受限制的、互不干扰的。这个时候自由度就是3，因为有3个变量的取值不受限制。

如果我们给上面这三个变量加一个限制条件，就是x1+x2+x3=0，这个时候这三个变量的取值就不能随便了，前两个变量的取值可以随便点，但是第三个变量的取值就受前两个变量取值的限制，所以此时的取值不受限制的变量个数变成了2，也就对应的自由度变成了2。

理解了自由度的核心原理以后我们来看看自由度的主要应用场景：

1.方差

第一个场景就是总体方差和样本方差，我们知道总体方差的分母是n，而样本方差的分母是n-1，这是因为在计算样本方差时需要用到样本均值，如果样本均值已知了，那么组成样本的n个样本中就会有一个样本的取值受到限制。此时的自由度就变成了n-1。

再想一下方差的概念，方差其实看的是n个样本的平均波动程度，也就是由这n个样本一起导致的波动有多大。而样本方差中实际能够决定波动的只有n-1个样本，所以就除n-1。

2.回归

在回归方程中也涉及到自由度的问题，假设现在有n个x变量，因为这n个x构成了一个方程，这个方程就是一个约束条件，此时可以自由变换的变量就是n-1个，对应的自由度也就是n-1。

以上就是关于自由度的一个简单介绍，大家好好理解理解。