狱吏问题

（1）问题描述

某国王大赦囚犯，让以狱吏n次通过一排锁着的n间牢房并规定：狱吏每通过一次，就转动一次这排牢房中的某些门锁。门锁每转动一次，原来锁着的就被打开，原来打开的就被锁上。狱吏通过n次后，门锁为开的牢房中的犯人被放出，门锁为锁上的牢房中的犯人不得获释。转动门锁的规则如下：狱吏第一次通过牢房，要转动每一把门锁，即全部锁打开；第二次通过牢房时，从第二间开始转动，每隔一间转动一次；第k次通过牢房时，从第k间开始转动，每隔k-1间转动一次。问：狱吏通过n次后，哪些牢房的锁是打开的？

（2）问题分析与求解

• 用一个一维数组a[n]记录n个锁的状态，每个锁有两种状态：
  1：对应被锁上，0：对应被打开；

• 用第i个锁的一次开关状态变化用算术运算表示：a[i]=1-a[i];

• 第一次转动所有牢房门锁，即1，2，3,…,n号；第二次每个一间转动牢房门锁，即2，4，6号；第k次是每隔k-1间转动牢房门锁，即k,2k,3k,…,号。即起点为k,公差也为k的等差数列。

• 经过n次循环模拟狱吏的开锁过程后，当第k号牢房门锁状态对应的数组元素a[k]为0时，该牢房的锁是打开，其中的囚犯获得赦免。

狱吏问题算法

输入：锁状态为上锁的牢房个数；
输出：锁状态为打开的牢房号k;

#include
using namespace std;
int main()
{
     
	int n,k;
	cout<<"锁状态为上锁的牢房个数：";
	cin>>n;
	int a[n+1];
	for(k=1;k<=n;k++)
	a[k]=1;               //初始状态均设置为上锁状态 
	for(k=1;k<=n;k++)
	{
     
		for(int j=k;j<=n;j=j+k)
		a[j]=1-a[j];
	} 
	cout<<"锁状态为打开的牢房号k：";
	for(k=1;k<=n;k++)
	{
     
		if(a[k]==0)
		cout<<k<<" ";
	}
	return 0;
}

以锁转动一次为一个计算单位，则该算法的时间复杂度为n+n/2+n/3+…+1=O(nlogn)