物理学胡思乱想之库仑力和万有引力定律胡乱推导
By: fulinux
E-mail: [email protected]
Blog: https://blog.csdn.net/fulinus
喜欢的盆友欢迎点赞和订阅！
你的喜欢就是我写作的动力！
目录
- 引言
- 模型抽象
- 电场强度
- 从客体电荷q的受力角度看场强
- 从主体电荷p看场强
-
- B点场强E与p电量成正比
- B点场强E与距离r的关系
- 两个电荷相互作用的力
- 万有引力定律推导
引言
这个是万有引力定律公式：
F = G m 1 m 2 r 2 F =G\frac{m1m2}{r^2} F=Gr2m1m2
这个是电荷库仑力定律公式
F = k q p r 2 F =k\frac{qp}{r^2} F=kr2qp
何其相似，重点都是距离平方反比，怎么解释这一现象呢？
模型抽象
以库仑定律为例，下面构建一个简单的模型，如下图所示：
两个电荷p和q分别位于图中的A、B两点，距离为r。
电场强度
电荷和电荷之间的作用力是通过电场产生的静电力，如下示意图(自己画的哈)：
上图中实线为电力线，虚线为等势球面。
电场是一种物质，但是与其他实物不同，几个电场可以同时占有同一空间，所以电场是一种特殊的物质。
(1)处于电场中的任何带电体都受到电场所作用的力；
(2)带电体在电场中移动时，电场所作用的力将对带电体做功；
从客体电荷q的受力角度看场强
电荷p产生的电场中任意一点处电场的性质，可以从电荷在电场中受力的特点来定量描述。用电量很小的电荷q作为试验电荷，当试验电荷q放在电场中一给定点处时，它受到的电场力的大小和方向是一定的；放在电场中的不同点处，其受到的电场力的大小和方向一般情况下是不同的。试验电荷q放在p电场中一固定点B处(距离A点直线距离为r)，当q的电量改变时它受到的力的方向不变，但力的大小随电量的改变而改变。始终保持力F和q的比值F/q为一恒定矢量。因此，F/q反映了q所在点处电场的性质，称为电场强度。用E表示，即
E = F q \pmb E= \frac{\pmb F}{q} EEE=qFFF
单位是牛顿每库仑（N/C）。
反之，电场B点处引力F与试验电荷q成正比，此时场强为定值
F = E q \pmb F= {\pmb E}{q} FFF=EEEq
F ∝ q \pmb F \propto{q} FFF∝q
这是从客体q角度得出来场强的概念，下面我会从主体p角度来看场强。
从主体电荷p看场强
上面这个公式是现如今经典的场强E的定义公式，但是它是从试验电荷q的角度来推导电荷p电场中某点的场强，忽略了试验电荷q电场对整体电场的影响，而没有将电荷p自身的电荷和B点位置关系体现出来。
本质上这里描述的E是电荷p和电荷q共同作用的复合场强。
当然在不借助电荷q的情况下，我们无法知道电荷p电场在B处的场强，更加不知道此处的受力情况。因此从认知角度来看引入试验电荷q是个很明智的举措。
如何才能将电场B点处的场强用电荷p和距离表述出来呢？
下面重新定义场强的概念：
B点场强E与p电量成正比
在B点处的场强会随着电荷p的电荷量增长而增长，成正比关系，即
E ∝ p \pmb E \propto{p} EEE∝p
B点场强E与距离r的关系
p电荷所在的A点与B点直线距离为r，那么场强E和r什么关系呢？
这里不用试验电荷的传统试验方式来讨论E和r的关系，那必然是平方反比的关系哈~
这里先猜测场强E与r的关系有这些
E ∝ 1 r \pmb E \propto{\frac{1}{r}} EEE∝r1
E ∝ 1 r 2 \pmb E \propto{\frac{1}{r^2}} EEE∝r21
. . . ... ...
E ∝ 1 r n \pmb E \propto{\frac{1}{r^n}} EEE∝rn1
这里是按照常识来考虑E和r的n次幂成反比，而不是正比关系。
这里先讨论E和r成反比的关系，假定关系成立
E ∝ 1 r \pmb E \propto{\frac{1}{r}} EEE∝r1
综上，电荷p的电场B点处的场强E与电荷量p成正比，与距离r成反比，于是有
E ∝ p r \pmb E \propto{\frac{p}{r}} EEE∝rp
等式关系如下：
E = k p r \pmb E=k \frac{p}{r} EEE=krp
其中k为比例系数。
为了方便后面描述这里将E改成E1,即
E 1 ⃗ = k p r \vec {E1}=k \frac{p}{r} E1=krp
这都是不考虑试验电荷q的情况，就是不带q一起玩了，场强E也是客观存在的，只是考察的角度问题哈~
一个是通过试验电荷q受力的角度出发，而这里是从电场源头和空间距离出发。
反之试验电荷q(负电荷)也会形成电场，且电荷p在A点处，也有自己的场强E2，与场强E1大小不等方向相同（异性电荷场强方向相同，表现为相互吸引，同性电荷场强方向相反，表现为相互排斥，这里只讨论异性电荷关系），有
E 2 ⃗ = − k q r \vec {E2}=-k \frac{q}{r} E2=−krq
场强E1和E2如下图所示
两个电荷相互作用的力
力的作用是物质和物质之间的相互作用，因此只有单个点电荷而无其他电荷就无法讨论力的关系。
那么，电荷p和q都具有电荷量，都会形成电场，相互作用，不能通过力的叠加原理来计算，因为电荷p通过电场吸引电荷q，同时电荷q通过自身的电场吸引电荷p，电荷量不同场强也不同作用力势必也不等效，但是按照牛顿第三定律，两个电荷之间相互作用力力又势必相等，故大胆猜想两个电荷p和q距离为r时产生的作用力由场强向量积成正比，即
F ⃗ ∝ E 1 ⃗ ⋅ E 1 ⃗ ∝ p r q r cos α \vec F \propto{\vec {E1}\cdot \vec {E1}} \propto{\frac{p}{r}\frac{q}{r}}\cos\alpha F∝E1⋅E1∝rprqcosα
因为E1和E2两者场强作用在直线上，故而cosα为1或者-1，即有
F ⃗ = k q p r 2 \vec F =k\frac{qp}{r^2} F=kr2qp
其中k为引力系数。k也有单位，按照量纲来~
这个和试验的结果是吻合的，因此，确定场强E与距离r的1次幂成反比，即场强E与距离r成反比
为啥是场强的向量积，而不是向量和呢，可以认为各个电荷具有不同的电力线，然后不是所有电力线都会起左右，向量积几何意义是平行四边形的面积，可以认为双方的电力线相互作用等效于二维面积
万有引力定律推导
同理万有引力引入场强的概念也可以推导出，我也不想推导了，质量的场强可以这么定义：
m1的场强：
E 1 ⃗ = k m 1 r \vec {E1} =k\frac{m1}{r} E1=krm1
m2的场强：
E 2 ⃗ = k m 2 r \vec {E2} =k\frac{m2}{r} E2=krm2
向量积运算：
F ⃗ ∝ E 1 ⃗ ⋅ E 1 ⃗ ∝ m 1 r m 2 r cos α \vec F \propto{\vec {E1}\cdot \vec {E1}} \propto{\frac{m1}{r}\frac{m2}{r}}\cos\alpha F∝E1⋅E1∝rm1rm2cosα
等式关系如下：
F = G m 1 m 2 r 2 \pmb F =G\frac{m1m2}{r^2} FFF=Gr2m1m2