【高数】函数、极限、连续

知识点

函数

定义

• 邻域。[《全书》P3]
• 函数。[《全书》P3]
  • 狄利克雷函数。[《全书》P4]
• 隐函数。[《全书》P4]
• 参数式表示的函数。[《全书》P4]
• 函数的单调性。[《全书》P4]
• 函数的奇、偶性。[《全书》P4]
• 函数的周期性。[《全书》P4]
• 函数的有界性。[《全书》P5]
• 反函数。[《全书》P5]
• 复合函数。[《全书》P5]
• 基本初等函数。[《全书》P5]
  • 常值函数。
  • 幂函数。
  • 指数函数。
  • 对数函数。
  • 三角函数。
  • 反三角函数。
• 初等函数。[《全书》P5]

重要性质、定理、公式

• 关于函数的奇偶性——七条。[《全书》P5]
  • 奇函数与奇函数复合=？。
  • 偶函数与奇函数复合=？。
• 关于有界、无界的充分条件。[《全书》P6]

极限

定义

• 数列的极限。[《全书》P8]
• 函数的极限。[《全书》P8]
• 要注意区分数列的极限和函数的极限，同时部分数列的极限可以由函数的极限求得。
• 无穷小。[《全书》P8]
• 无穷大。[《全书》P8]属于极限不存在的范畴
• 无穷小的比较。[《全书》P8]

重要性质、定理、公式

• 极限存在的充要条件。[《全书》P9]
• 数列极限存在的充要条件。[《全书》P9]
• 极限的唯一性。[《全书》P9][《18讲》P23证明]
• 存在极限与无穷小的关系。[《全书》P9]
• 保号性。[《全书》P9]
• 保号性的推论。[《全书》P9]
• 无穷小与无穷大的关系。[《全书》P9]
• 无穷小的运算规则。[《18讲》P29]
  • 有限个无穷小的和是无穷小。
  • 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
  • 有限个无穷小的乘积是无穷小。
• 夹逼定理。[《全书》P9]
• 单调有界定理。[《全书》P9]
• 几个重要极限与几个重要的等价无穷小。[《全书》P10]
• 四则运算法则。[《全书》P10]
• 等价无穷小替换定理。[《全书》P10]
• 等价无穷小的充要条件。[《全书》P11]
• 洛必达法则。[《全书》P11]
• 佩亚诺余项泰勒公式。[《全书》P11]
• 利用积分和式求极限。[《全书》P12]

函数的连续与间断

定义

• 函数在一点处连续。[《全书》P31]
• 函数在一点出左连续。[《全书》P31]
• 函数在(a, b)内、[a, b]上连续。[《全书》P31]
• 第一类间断点。[《全书》P31]
  • 可去间断点。
  • 跳跃间断点。
• 第二类间断点。[《全书》P31]
  • 无穷间断点。
  • 振荡间断点。

重要性质、定理、公式

• 连续函数的四则运算。[《全书》P32]
• 复合函数的连续性。[《全书》P32]
• 基本初等函数的连续性。[《全书》P32]
• 初等函数的连续性。[《全书》P32]
• 闭区间上的连续函数的性质。[《全书》P32]

做题技巧

• 从根式中提出因子时，应注意x的符号。[《全书》P13例1]

全书例题分析

求分段函数的复合函数

略

关于函数有界（无界）的讨论

讨论$$f(x)=\frac{1}{x}sin\frac{1}{x}$$在x = 0处的极限。[《全书》P7例2]

求函数的极限

主要方法

1. 用初等数学（例如三角、对数、指数、分子与分母同乘以某式、提公因式等）中的恒等变形。
2. 将极限存在但不为0的因式提出。
3. 用等价无穷小替换。
4. 用洛必达法则。
5. 用佩亚诺型余项泰勒公式。
6. 夹逼定理。
7. 四项运算定理、复合函数求极限、连续函数求极限、几个重要极限。
8. 使用导数定义求极限。

其他技巧和注意点

• 幂指函数常可以转化为指数函数处理。

已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限

已知极限值求其中的某些参数

• 实质还是求极限，可以使用泰勒公式展开。例如:$$\frac{f(x)}{x^n}$$则将f(x)展开至n阶即可。
• 使用洛必达法则，因为极限存在，使用多次洛必达法则时有极限为0或者极限为无穷的条件，以此定出参数，步骤较繁杂。

已知极限求另一与此有关的某极限

• 将欲求极限凑成用已知极限表示的形式，在容易凑得的情况下使用。
• 计算欲求极限的函数与已知的函数的差，即得答案。

含有|x|，e^x的x->0时的极限

需要分x->0^-和x->0⁺两种情况去讨论。

无穷小的比较

最快的方法是使用泰勒展开，使用等价无穷小，转化为ax^k的形式，然后比较。全书上具有又有四种方法：

1. 与x^k比较，k待定。一般在表达式是积分等难以使用泰勒展开时使用。
2. 用洛必达法则。
3. 用泰勒公式展开。
4. 用等价无穷小的充要条件。

数列的极限

n项和或n个因式的积的数列的极限

连乘的形式想到取对数，化成求和，然后用积分和式取极限试之。

以递推形式给出的数列的极限

//TODO

求以极限定义的函数的表达式

使用夹逼准则时，对于表达式的进行放缩需要讨论哪个是主项，此时可以画图分段考虑。

极限运算定理的正确运用

• 注意复合函数求极限的条件。复合函数求极限的定理中要求$$\phi (x)\ne u_0$$.
• 关于极限存在不存在的问题。
  • 将目标表达式看成已知表达式的线性组合，对于极限不存在，常用反证法证明。可以使用举反例的方法排除。[《全书》P28例22]
• 设x_n<=z_n<=y_n，且y_n - x_n = 0(n->无穷)，则z_n(n->无穷)不一定存在。[《错题本》P4]

讨论函数的连续与间断

• 注意极限的保号性的推论。只能证明A >= 0，不能得到A > 0。
• 关于连续与间断，通过考虑特殊情况来排除。
  • f(x)=sign(x)有跳跃间断点x = 0，但是[f(x)]²=1连续等。

在连续条件下求参数

对于多项式表达式要先求它的分段表达式再讨论连续型。（分|x| < 1 , = 1, > 1三种情况讨论）

讨论由极限定义的函数的连续性或间断点的类型

略

《18讲》

• 并不是任意两个无穷小都可进行比阶的。[《18讲》P28]
• 对和式$$\sum _{i=1}^n{u}_i=u_1+u_2+...+u_n$$的两种经典方法。在放大、缩小的时候不要改变起主要作用的n最高次方项[《18讲》P38]
• 可以通过变量倒代换将“正三角形状△”改成“倒三角形状”简化计算。[《18讲》P40]
• 泰勒展开的运用。[《18讲》P44]
  • A / B型，适用于“上下同阶”原则。
  • A - B型，适用于“幂次最低”原则。
• 可以利用高阶无穷小来化简。[《1000题》P3t1.6 ]
• 对于无穷大的差、高次开根、某些未知数趋于无穷的极限，常用倒代换转换。[《1000题》t1.21、t1.22、t1.40]
• 利用拉格朗日中值定理。[《1000题》t1.66、t1.70]
• 极限变量趋向的同时性。[《18讲》P48]
• 对于形如f(xⁿ)的表达式，求关于n的函数极限，要分|x| > 1，|x| = 1, |x| < 1三种情况讨论。[《18讲》P52t2.4]
• 对数数列极限大题：1.76~1.91
  • 观察是否能通过题给的条件进行变形，得到递推式，然后利用单调有界定理证明数列收敛。
  • 对于极限值，可以先假设其存在，“先斩后奏”，然后再证明。
  • 注意破除惯性思维，数列极限可能存在也可能不存在。如数列无界，极限一定不存在。[《1000》1.76]
  • 根据递推式可能需要通过基本不等式推出下界。
  • 可能涉及等差/等比数列，或者裂项相消法等求元素表达式。
• 间断可疑点。
  • 无定义点。
  • 分段函数的分段点。
  • 无意义的点。
    • 函数表达式中因子分母为0的点。
    • 函数表达式中因子的无定义点。
  • 因子的分段点。
    • 绝对值函数自变量为0的点。
    • 符号函数自变量为0的点。
    • 反正切函数自变量为0的点。
  • 包含f(xⁿ)的函数表达式取值为+1和-1的点。
  • 包含f(e^g(x))的函数表达式中g(x)趋于无穷的点。
• 讨论分段函数在分段点的连续性，一般要考察在该点的左、右极限。
• 若|x_n|<= k|x_{n - 1}|, 0 < k < 1,则：
  0 <= |x_n| <= k|x_{n - 1}| <= k² _{n - 2} <= … <= k^{n - 1}|x₁|
  由0 < k < 1，故k_{n - 1}|x₁| = 0（n趋于无穷）, 于是， |x_n| = 0（n趋于无穷）, x_n = 0（n趋于无穷）。[《1000》1.78]
• 关于含有x^a因子的函数极限，要分a > 0和a <= 0两种情况讨论。[《1000》1.99]

《660》

• 通过恒等变形转化为可以用四项运算法则求的极限，这是求数列极限的重要情形。[《660》t13][《1000》t1.43][《错题本》P3]

教材补充

• 一个发散的数列也可能有收敛的子数列。
• 数列的有界性是数列收敛的必要条件。
• 无界数列一定发散。
• 有界数列未必一定收敛。反例：{(-1)^-1}
• 狄利克雷函数：是一个周期函数，任何有理数r都是它的周期，因为不存在最小的正有理数，所以它没有最小正周期。因此，并非每个周期函数都有最小正周期。
• 有理函数求极限。
• 部分带根式函数可以通过变量代换求解。