r语言 数列前m项求和_浅谈高考数列中的上界问题

无论是在高考真题还是模拟题中，探究数列某一项的上界或是数列n项和的上界的问题都频繁出现，在本文中，将由简入繁地介绍几种常用方法。

（若对前三种手法较为自信，可直接移步第四种）

一、类等差、类等比放缩

这一类放缩的精髓在于将无法求和得数列转化为可求和的等差数列或等比数列。

先来看一道2006年浙江高考的数列题

2006 浙江（理）T20

第一问解答较容易，在此不作赘述，但第一问为第二问提供了方向。

下面给出第二问的解答：

可以看出，该题综合运用了换元法，借助函数整体放缩，类等比放缩等重要放缩技巧，即使在考后十几年看，仍是一道经典妙题。

类等比和类等差放缩是一种较为基础和常见的放缩。值得一提的是，当放缩后等比数列的公比小于1时，由等比数列求和公式和极限思想，可以得到一个定值。

相信这种方法大家接触也比较多了，因此只做简述。

二、蛛网图（不动点）

对于最近模拟题中的选择压轴，有相当一部分以蛛网图为背景……

但考察手段还是比较灵活的，下举几个例子以供感受：

1905杭州三校T10

2001嵊州高三期末T10

2001台州高三期末T10

由于蛛网不动点热度过高，再次出现此类题目的可能较小，在此不作过多描述。

且有很多人对此有过较深的研究，如有兴趣，可查看高妙或b站搜索杨大师。

三、裂项：（裂项往往可与其他方法配合使用）

裂项是一种精确度较高的手法，可分为直接裂项和放缩裂项，直接裂项的效果往往是其他手段无法企及的。

对于一般的确定分式裂项，可使用观察法和待定系数法，在此不做赘述。

先来看两道经典的运用直接裂项的数列题，这两题的共同点为精确度要求高：

例1：在数列{

}中，

，

，设

，若{

}的前2019项和

，则整数t的最大值为_________

解：

求和得：

考虑到：

两边减2

两边取倒数

裂项

一方面，对该式进行求和，可得：

一方面，

将这两个式子代入求和式，得

，t的最大值为4035

例2：已知数列{

}满足

，

，则使得

成立的正整数n的最小值是__________（1904湖州三校T10）

解：对

取倒数，

得：

即：

（事实上，若令

，该裂项将更加显然）

则累加得：

若要

，

则要求最小的n，使

而由题意得，

单调递增，且

都满足

则易得：

因此，

因此n-1的最小值是2019，n的最小值为2020。

从过程中，我们可以看到直接裂项的一个巨大优势：几乎没有误差！

在此处给出数海漫游公众号每日一题中的一道难题：

为什么要裂项？？？

对此林老师给出的分析是：

笔者认为在放缩过程中对误差的感知是至关重要的。

顺带一提，在分数裂项中，裂项的过程往往不是一蹴而就的，而是通过待定系数进行求解。而错位相减法的过程也可由裂项代替，有兴趣的同学可自行寻找题目计算。因篇幅有限，在此不作赘述。

当然，放缩裂项也在一些具体问题中发挥着重要作用：

例3：证明不等式

解：考虑使用切线放缩：

一方面，

在x=n处的切线为

取x=n+1，得

，即

累加得:

另一方面，

在x=n+1处的切线为

取x=n，得

，即

累加得:

（真实的解题思路或许是从后往前的）

四、先设后求：

近期，一类收敛结构频繁在模拟题中出现

“超级全能生”浙江省三月联考

该结构事实上并非第一次出现了，在19.05嘉兴一中高三数学高考适应性测试的压轴题中已有类似的结构。

出于目标式中的指数形式，该题目的出题意图是考察指数的放缩与裂项。

以下是中学数学星空给出的超级全能生T10中A选项的解答，都通过对数不等式，运用到了之前提到的裂项放缩，这也是该题的常规解答，对于另外一道“兄弟题”同样适用。

第一种解答

第二种解答

但是这样的放缩方法，一方面经历了两次放缩，误差较大；一方面在无目标式的提示下，这样的放缩还是不太常规的。

因此，再次观察原递推式，发现

与

的系数相差不大，考虑运用

的常规裂项形式。尝试将一个

减到等式另一侧，且这样做并未破坏等式的完整性。

并且随着n的增大，等式右侧

的系数减小极快，使右侧趋向于0。

因此，可以尝试把 {

}的最大值设出来（由题意也可猜测{

}收敛，存在最大值），并将等式右侧的

放缩成该最大值，可得到以下过程：

设：对于n∈N，

则：

考虑到该放缩在n较小时，误差较大，可尝试直接对n≥3部分进行裂项

则：

即：

，解得

（如果觉得在高中考试中这么写不严谨的话，完全可以先在草稿纸上把值求出来，在用数学归纳法类似地反推证明！）

至此，A选项正确一目了然。由结果看出，对于本题这是一种快捷且精确度更高的放缩。

究竟精确度有多高呢？利用计算机手段可得m的准确值约为3.8，可见已非常接近，且如果从n=4开始裂项，可以证明m＜4（不过这样做确实已经意义不大了）

运用类似的过程，证明B选项也是驾轻就熟，只要重新计算 a=0时的

，并在

中代入，即可解得

，判断出B选项错误。

事实上，把最大值设出来这样的思想有着广泛的运用，以下是2018年浙江省五校联考中的第17题：

2018年浙江省五校联考T17

由先设后求的思想，设

可知：

则由齐次化思想和配方思想：

得：

两式相加，得：

为使

可化为完全平方式，

则

，解得

或

取

，可得

所以

，解得

或

（舍）

所以

顺便一提，在设出M后，若考虑到最小值处双曲线与直线相切的几何意义，则能够事半功倍。

联立

和

（由对称性，另一条结果相同）

消去x，得

由相切得

，则

可解得

（舍），或

同样可得到

，但论证相对不严谨些。

至此，此专题，终。