数据结构与算法: Manacher 算法

1 Manacher算法

Manacher算法，又叫“马拉车”算法，可以在时间复杂度为O(n)的情况下求解一个字符串的最长回文子串长度的问题。

2 字符串处理

假设求解的字符串是abcc,要在其前后插入特殊字符(例如#),将其转化为#a#b#c#c#c#

2.1 最大回文半径

我们用 f(i) 来表示以字符串的第 i 位为回文中心，可以拓展出的最大回文半径，那么 f(i) - 1 就是以 i 为中心的最大回文串长度。为什么呢？通常长度等于2倍的最大半径再减去自身重复计算的长度1，即2*f(i) - 1,但是因为我们插入了特殊字符#,一半的字符是特殊字符是不应该算进来的，故而实际长度等于f(i) - 1。

此时以字符串的第 i 位为回文中心，可以拓展出的最大回文右端点r_m为$i + $f[$i] - 1;

2.2 状态转移方程

当我们计算f(i)时候，就两种情况

情况一： i <=r_m 时候,说明此时字符串的第 i 位被包含在 i_m为中心可以拓展出的最大回文内，例如下面例子中下标 7,那么此时我们不用再次中心拓展，因为此时该位置最起码能和其以 i_m为中心的对称点 f(2*i_m - i)所能拓展出的最大回文相等，毕竟在同一个最大回文嘛，这也是Manacher 算法的核心思想， 记录其对称位置的最大回文半径，那么此位置一定大于等于其对称位置的最大回文半径，我个人理解是有点动态规划的思想，已经拓展过的，不必再次拓展，只是保存的不是 f(i)，而是i的对称点 f(2*i_m - i)，但是又因为对称点可能向左有拓展， 这边未必能向右拓展，所以对应的 f(i) = min( r_m - i + 1, f(2*i_m - i) )，然后再去中心拓展，即状态转移方程就是：$$f(i) = min( r_m - i + 1, f(2*i_m - i) )$$

情况二：i >r_m ,直接f(i) = 1

2.3 #a#b#c#c#c#实例

下面是#a#b#c#c#的每一步处理例子：

字符            #        a        #        b        #        c        #        c        #        c        #        c
下标            0        1        2        3        4        5        6        7        8        9        10       11

半径f(i)        1        2        1        2        1        2        3        4        4        3        2        1

最右端点r_m     0        2        2        4        4        6        8        10       11       11       11       11
r_m对应的i_m    0        1        1        3        3        5        6        7        8        8        8        8
最大回文串      #       #a#        #       #b#      #       #c#     #c#c#   #c#c#c#  c#c#c#c   c#c#c     c#c        c    

在下标为7处，其对称点下标为2*i_m - i = 2*6 - 7 = 5,对应的最大半径为min( f(5), r_m - i + 1 ) = min( f(5), 8 - 7 + 1) = min(2, 1) = 1,则7至少在[7,7]即自身是回文的，然后左边从i - f(i) = 7 - 1 = 6,右边从i + f(i) = 7 + 1 = 8，向两边拓展，最终拓展到[4,10],更新i_m = 7, r_m=10

3 PHP 语言描述

    public function countSubstrings($s)
    {
        //填充特殊字符
        $arr = str_split($s, 1);
        $s   = implode('#', $arr);
        $s   = '#'.$s.'#';
        $len = strlen($s);
        $i_m = 0;
        $r_m = 0;
        $ans = 0;//不同回文子串的个数，因为加入了特殊字符，故而是$f[$i]/2，向下取整
        $f   = [];
        $res = [];//每个位置的最大回文子串集合
        for ($i=0; $i < $len; $i++) {
            //初始化
            if ($i <= $i_m && isset($f[2*$i_m - $i])) {
                $f[$i] = min($r_m - $i + 1, $f[2*$i_m - $i] );
            }else{
                $f[$i] = 1;
            }
            //中心拓展
            while ($i-$f[$i] >=0 && $i+$f[$i] < $len && $s[$i-$f[$i]] == $s[$i+$f[$i]]) {
                $f[$i]++;
            }
            $res[] = substr($s,$i - $f[$i] + 1,2*$f[$i] - 1);
            //更新$i_m $r_m
            if ($i + $f[$i] - 1 > $r_m) {
                $i_m = $i; 
                $r_m = $i + $f[$i] - 1;
            }
            $ans += floor($f[$i]/2);
        }
        var_dump($s,$f,$res);
        return $ans;
    }