Luogu1856 [USACO5.5]矩形周长Picture（矩形周长并）

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1856

矩形周长Picture

题目背景

墙上贴着许多形状相同的海报、照片。它们的边都是水平和垂直的。每个矩形图片可能部分或全部的覆盖了其他图片。所有矩形合并后的边长称为周长。

题目描述

编写一个程序计算周长。

如图1所示7个矩形。

如图2所示，所有矩形的边界。所有矩形顶点的坐标都是整数。

输入格式

输入文件的第一行是一个整数N（0<=N<5000），表示有多少个矩形。接下来N行给出了每一个矩形左下角坐标和右上角坐标（所有坐标的数值范围都在-10000到10000之间）。

输出格式

输出文件只有一个正整数，表示所有矩形的周长。

输入输出样例

输入 #1
7
-15 0 5 10
-5 8 20 25
15 -4 24 14
0 -6 16 4
2 15 10 22
30 10 36 20
34 0 40 16
输出 #1
228

题解

跟矩形的面积并类似，也是利用扫描线思想用数据结构维护一维，再按照另一维延伸、进行操作。不过周长的变化不如面积直观，但是经过观察还是可以得出规律的：

• 对于水平的边，添加/删去一条边以后新增的边长是更新前后总的水平线段长度之差的绝对值。
• 对于竖直的边，添加/删去一条边以后新增的边长是水平线段的数量$\times 2\times$竖直方向移动的距离。

大稍微手玩几个例子就可以理解了，因为图不太好画我就不配图解了，结合代码还是很好理解的[doge]。

要注意的是，如果有两条有重合的边，要把下边排在前面、上边排在后面，否则这两条边重合的本来应该被合并消去的部分就会被计算到总边长里去。

因为计算竖直边需要用到线段条数，所以我们还需要维护连续的线段条数$cot$以及这个区间是否左/右连续$lcon/rcon$，在合并左右子树的信息时，如果左子树右连续且右子树左连续，则该节点的线段条数就是左右子树线段条数之和减一。

代码

#include
#define ls v<<1
#define rs v<<1|1
using namespace std;
const int M=1e6+5;
struct Edge{
     
    int le,ri,h,val;
}edge[M<<1];
bool cmp(Edge a,Edge b){
     return a.h==b.h?a.val>b.val:a.h<b.h;}
struct node{
     
    int le,ri,len,cov,cot;
    bool lcon,rcon;
}tree[M<<2];
int n,tot,x[M],cot,ans;
void up(int v)
{
     
    if(tree[v].cov)tree[v].len=tree[v].ri-tree[v].le,tree[v].lcon=tree[v].rcon=tree[v].cot=1;
    else tree[v].len=tree[ls].len+tree[rs].len,tree[v].lcon=tree[ls].lcon,tree[v].rcon=tree[rs].rcon,tree[v].cot=tree[ls].cot+tree[rs].cot-(tree[ls].rcon&tree[rs].lcon);
}
void build(int v,int le,int ri)
{
     
    tree[v].le=x[le],tree[v].ri=x[ri+1];
    if(le==ri)return;
    int mid=le+ri>>1;
    build(ls,le,mid),build(rs,mid+1,ri);
}
void cover(int v,int le,int ri,int val)
{
     
    if(le<=tree[v].le&&tree[v].ri<=ri)
    {
     
        tree[v].cov+=val;
        up(v);
        return;
    }
    if(le<tree[ls].ri)cover(ls,le,ri,val);
    if(tree[rs].le<ri)cover(rs,le,ri,val);
    up(v);
}
void in()
{
     
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1,a,b,c,d;i<=n;++i)
    scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d),edge[++cot]=(Edge){
     a,c,b,1},edge[++cot]=(Edge){
     a,c,d,-1},x[++tot]=a,x[++tot]=c;
}
void ac()
{
     
    sort(x+1,x+1+tot);
    tot=unique(x+1,x+1+tot)-x-1;
    build(1,1,tot-1);
    sort(edge+1,edge+1+cot,cmp);
    for(int i=1,pre=0;i<cot;++i)
    {
     
        cover(1,edge[i].le,edge[i].ri,edge[i].val);
        ans+=abs(tree[1].len-pre),pre=tree[1].len;
        ans+=tree[1].cot*(edge[i+1].h-edge[i].h)<<1;
    }
    printf("%d\n",ans+edge[cot].ri-edge[cot].le);
}
int main()
{
     
    in(),ac();
    system("pause");
}