2020牛客NOIP赛前集训提高第四场C-斐波(矩阵快速幂，数学)

题目链接

Problem Statement

Solution

• 简洁解释一下题意，相信很多人都是卡在了题意理解上
• 我们要求：
  • 题目所给$[l,r]$区间
  • 的任意一个子区间
  • 中的数组成的集合
  • 的子集合中元素的和
  • 作为下标的斐波那契数
  • 的平方和
  • 之和
• 所给$f$含义是
• $f($集合$)$=所有子集的数字和作为下标的斐波那契数的平方和
• 我们一层一层来做

Subtask 1:

区间的数字和作为下标的斐波那契数

• 复习：$fibonacci$矩阵
• 区间的数字和作为下标的斐波那契数

$T=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right|$

$\therefore fi{b}_{a+b}=T^{a+b}=T^a\ast T^b=fi{b}_a\ast fi{b}_b$

Subtask 2:

区间的数字和作为下标的斐波那契数的平方

• 这是一个常见套路，当然你也可以直接算，但也可以改一改矩阵

$f_i^2=(f_{i-1}+f_{i-2}{)}^2=f_{i-1}^2+2f_{i-1}{f}_{i-2}+f_{i-2}^2$

头尾两项好维护，关键是中间的二倍积

$2f_i{f}_{i-1}=2(f_{i-1}+f_{i-2})f_{i-1}=2f_{i-1}^2+2f_{i-1}{f}_{i-2}$

$\therefore \left[\begin{array}{c}{f}_i^2\\ f_{i-1}^2\\ 2f_i{f}_{i-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 0& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}{f}_{i-1}^2\\ f_{i-2}^2\\ 2f_{i-1}{f}_{i-2}\end{array}\right]$

Subtask 3:

集合的所有子集的数字作为下标的斐波那契数的平方和

容易发现$\{\{a\},\{b\},\{a,b\},\varnothing \}\subseteq \{a,b\}$

$⟹(a+1)(b+1)=a+b+ab+1$

注意矩阵的1是

$I=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

Subtask 4:full version

区间的子区间的集合的所有子集的数字和作为下标的斐波那契数的平方和的和

• 区间的子区间问题
  

• 用$mu{l}_a$记录区间$a$内答案

• $mu{l}_a=fi{b}_a+I$

• 易得$mu{l}_{a+b}=mu{l}_a\ast mu{l}_b$

• 用$pr{e}_a$记录$a$的前缀的答案

• 则如图，$pr{e}_{a+b}=pr{e}_a+mu{l}_a\ast pr{e}_b$

• 同理，后缀答案$su{f}_{a+b}=su{f}_a\ast mu{l}_b+su{f}_b$

• 所以总答案就是左边后缀拼右边前缀

• $an{s}_{a+b}=an{s}_a+an{s}_b+su{f}_a\ast pr{e}_b$

• 这些我们用线段树维护，单点修改区间查询

Code

#include 
#include 
#define ls x<<1
#define rs x<<1|1
#define ll long long
const int N=1e5+10,M=3,mod=998244353;
int n,q,val[N];
inline ll add(ll a){
     return a>mod?a-mod:a;}
struct Matrix{
     ll a[M][M];};
Matrix one,fib[N];
inline Matrix operator+(const Matrix &x,const Matrix &y)
{
     
    Matrix ret;
    memset(ret.a,0,sizeof(ret.a));
    for(int i=0;i<M;i++)
        for(int j=0;j<M;j++)
            ret.a[i][j]=add(x.a[i][j]+y.a[i][j]);
    return ret;
}
inline Matrix operator*(const Matrix &x,const Matrix &y)
{
     
    Matrix ret;
    memset(ret.a,0,sizeof(ret.a));
    for(int i=0;i<M;i++)
        for(int k=0;k<M;k++)
            if(x.a[i][k])
                for(int j=0;j<M;j++)
                    ret.a[i][j]=add(ret.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j]%mod);
    return ret;                
}
inline Matrix operator^(Matrix x,ll y)
{
     
    Matrix ret=one;
    while(y){
     if(y&1)ret=ret*x;x=x*x,y>>=1;}
    return ret;
}
struct Segment
{
     
	int l,r;
	Matrix mul,pre,suf,ans;
};
Segment T[N<<2];
inline Segment merge(const Segment &a,const Segment &b)
{
     
	Segment ret;
	ret.mul=a.mul*b.mul;
	ret.pre=a.pre+a.mul*b.pre;
	ret.suf=b.suf+b.mul*a.suf;
	ret.ans=a.ans+b.ans+a.suf*b.pre;
	return ret;
}
inline void build(int x,int l,int r)
{
     
    T[x].l=l,T[x].r=r;
    if(l==r){
     T[x].ans=T[x].mul=T[x].pre=T[x].suf=fib[val[l]];return ;}
    int m=l+r>>1;
    build(ls,l,m),build(rs,m+1,r);
	Segment s=T[x];
	T[x]=merge(T[ls],T[rs]);
	T[x].l=s.l,T[x].r=s.r;
}
inline void modify(int x,int k,int p)
{
     
    if(T[x].l==k&&T[x].r==k){
     T[x].ans=T[x].mul=T[x].pre=T[x].suf=fib[p];return ;}
    int mid=T[x].l+T[x].r>>1;
    if(k<=mid) modify(ls,k,p);
    else modify(rs,k,p);
    Segment s=T[x];
	T[x]=merge(T[ls],T[rs]);
	T[x].l=s.l,T[x].r=s.r;
}
inline Segment query(int x,int l,int r)
{
     
    if(T[x].l==l&&T[x].r==r) return T[x];
    int mid=T[x].l+T[x].r>>1;
    if(r<=mid) return query(ls,l,r);
    else if(l>mid) return query(rs,l,r);
    return merge(query(ls,l,mid),query(rs,mid+1,r));
}
int main()
{
     
    for(int i=0;i<M;i++) one.a[i][i]=1;
    Matrix m1;
    m1.a[0][0]=1;m1.a[0][1]=1;m1.a[0][2]=2;
    m1.a[1][0]=1;m1.a[1][1]=0;m1.a[1][2]=0;
    m1.a[2][0]=1;m1.a[2][1]=0;m1.a[2][2]=1;
    fib[0]=one;
    for(int i=1;i<N;i++) fib[i]=fib[i-1]*m1;
    for(int i=1;i<N;i++) fib[i]=fib[i]+one; 
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",val+i);
    build(1,1,n);
    while(q--)
    {
     
    	int op,x,y;
    	scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);
        if(op==1) modify(1,x,y);
        else printf("%lld\n",query(1,x,y).ans.a[1][0]);
    }
}