欧拉定理与费马小定理

同余：

两个整数$a,b$，若它们除以整数$m$所得的余数相等，则称$a$同余于$b$模$m$。
记作：$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

欧拉定理：

如果$n$和$a$互质，则有
$$a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$$
证明：
在$1\sim n$中，所有与$n$互质的数为
$$a_1,a_2,...,a_{\phi (n)}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot ①$$
$\because$$a$与$n$互质
$$\therefore a\ast a_1,a\ast a_2,...,a\ast a_{\phi (n)}均与n互质\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot ②$$
$①$式与$②$式$\%n$相同，顺序可能不同。

证明：

假设$$a\ast a_i\equiv a\ast a_j(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n),i\ne j$$
消去$a$,得
$$a_i\equiv a_j(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n),与①矛盾$$
证毕。

令$①$的所有数乘积$=②$的所有数乘积：
$$a_1\cdot a_2\cdot \cdot \cdot a_{\phi (n)}=a^{\phi (n)}\cdot a_1\cdot a_2\cdot \cdot \cdot a_{\phi (n)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$$
消去$a_1\cdot a_2\cdot \cdot \cdot a_{\phi (n)}$得
$$a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$$
证毕。

费马小定理：

在欧拉定理中，若$n$为质数$p$,即
$$a^{\phi (p)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$
$$\because \phi (p)=p-1$$
$$\therefore a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$